[Bài toán] Vieta Jumping, Số chính phương

Bài toán : Cho $a, b, k$ là các số nguyên dương thỏa mãn $k = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{ab + 1}$ . Chứng minh rằng $k$ là một số chính phương.

Lời giải :

Cố định $k$ và xét tập $S = {(a, b) \in N \times N ∣ k = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{ab + 1}}$

Gỉa sử $k$ không là số chính phương.

Trong các phần tử của $S$ ta chọn ra cặp $(A, B)$ thỏa mãn $A + B$ nhỏ nhất. Không mất tính tổng quát, ta giả sử $A > B > 0$

Xét phương trình bậc hai ẩn $x$ :

$k = \frac{x ^{2} + x B + B ^{2}}{x B + 1} \Leftrightarrow x^{2} + (B - k B) x + B^{2} - k = 0$

Phương trình này hiển nhiên có hai nghiệm là $A$ và $x_{0}$ .

Theo định lí $V i e t e$ :

${x_{0} + A = k B - B x_{0} . A = B^{2} - k (1) (2)$

Từ $(1)$ ta có $x_{0}$ là số nguyên.

Nếu $x_{0} < 0$ thì $x_{0} \leq - 1 \Rightarrow x^{2} - (B k - B) x + B^{2} - k \geq x^{2} + (B k - B) + B^{2} - k > 0$ . Mâu thuẫn

Nếu $x_{0} = 0$ thì $k = B^{2}$ là một số chính phương (loại)

Nếu $x_{0} > 0$ thì $(x_{0}, B) \in S$ .

Từ đó :

$x_{0} + B = \frac{B ^{2} - k}{A} + B < \frac{B ^{2}}{A} + B < \frac{A ^{2}}{A} + B = A + B$

Mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của tổng $A + B$ .

Như vậy giả thiết phản chứng là sai, từ đó ta có $k$ phải là một số chính phương.

Đề bài