Bất đẳng thức hình học

BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

A. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ QUAN TRỌNG :

a) Bất đẳng thức $Euler$ :  $R\ge 2r$

b) Bất đẳng thức $Weitzenbock$  $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S$

c) Bất đẳng thức $Hadwinger-Finsler$ :

$$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S+(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$$

d) Bất đẳng thức $Gerretsen$ :

$$r(16R-5r)\le p^2\le 4R^2+4Rr+3r^2$$

e) Bất đẳng thức $Bludon$ :

$$2R^2+10Rr-r^2-2(R-2r)\sqrt{R(R-2r)}\le p^2\le 2R^2+10Rr-r^2+2(R-2r)\sqrt{R(R-2r)}$$

f) Bất đẳng thức $Leibniz$ : $a^2+b^2+c^2\le 9R^2$

g) Một số bất đẳng thức lượng giác :

Liên quan đến hàm số sin :

$$sinA+sinB+sinC\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$sinAsinBsinC\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$$

$$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}\ge 2\sqrt{3}$$

$$sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}\le \frac{3}{2}$$

$$sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\le \frac{1}{8}$$

$$\frac{1}{sin\frac{A}{2}}+\frac{1}{sin\frac{B}{2}}+\frac{1}{sin\frac{C}{2}}\ge 6$$

$co{s}^{2}A+co{s}^{2}B+co{s}^{2}C$$\ge si{n}^2\frac{A}{2}+si{n}^2\frac{B}{2}+si{n}^2\frac{C}{2}$$\ge \frac{3}{4}$

$si{n}^{2}A+si{n}^{2}B+si{n}^{2}C$$\le co{s}^2\frac{A}{2}+co{s}^2\frac{B}{2}+co{s}^2\frac{C}{2}$$\le \frac{9}{4}$

Liên quan đến hàm số cos :

$$cosA+cosB+cosC\le \frac{3}{2}$$

$$cosAcosBcosC\le \frac{1}{8}$$

$\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\frac{1}{cosC}\ge 6$ (tam giác nhọn)

$$cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$$

$$\frac{1}{cos\frac{A}{2}}+\frac{1}{cos\frac{B}{2}}+\frac{1}{cos\frac{C}{2}}\ge 2\sqrt{3}$$

Liên quan đến hàm số tan và cot :

$tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\ge 3\sqrt{3}$ (tam giác nhọn)

$$tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}\ge \sqrt{3}$$

$$tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}.tan\frac{C}{2}\ge \frac{\sqrt{3}}{9}$$

$ta{n}^{2}A+ta{n}^{2}B+ta{n}^{2}C\ge 9$ (tam giác nhọn)

$$ta{n}^2\frac{A}{2}+ta{n}^2\frac{B}{2}+ta{n}^2\frac{C}{2}\ge 1$$

$$cotA+cotB+cotC\ge \sqrt{3}$$

$$cotAcotBcotC\le \frac{\sqrt{3}}{9}$$

$cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}$$=cot\frac{A}{2}.cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}$$\ge 3\sqrt{3}$

$$co{t}^{2}A+co{t}^{2}B+co{t}^{2}C\ge 1$$

$$co{t}^2\frac{A}{2}+co{t}^2\frac{B}{2}+co{t}^2\frac{C}{2}\ge 9$$

B. NHỮNG BÀI TOÁN KHÁC 

$$\boxed{1}$$ $9r$$\le h_a+h_b+h_c$$\le l_a+l_b+l_c$$\le m_a+m_b+m_c$$\le r_a+r_b+r_c$$\le \frac{9R}{2}$

$\boxed{2}$  Cho tam giác $ABC$ không nhọn. Chứng minh rằng :

$$A^2+B^2+C^2\ge \frac{3{\pi }^2}{8}$$

$\boxed{3}$ Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng $\frac{aIA}{IB.IC}+\frac{bIB}{IC.IA}+\frac{cIC}{IA.IB}\ge 3\sqrt{3}$

$\boxed{4}cos2A+cos2B+cos2C\ge \frac{-3}{2}$ (tam giác $ABC$ nhọn)

$$\boxed{5}\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}\le m_a+m_b+m_c\le 4R+r$$

$$\boxed{6}GA+GB+GC\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{3R}$$

$\boxed{7}M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2\ge MA.GA+MB.GB+MC.GC\ge G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$ với $M$ là điểm tùy ý.

$$\boxed{8}\frac{m_a{m}_b{m}_c}{m_a^2+m_b^2+m_c^2}\ge r$$

$$\boxed{9}\frac{cosA}{a^3}+\frac{cosB}{b^3}+\frac{cosC}{c^3}\ge \frac{3}{2abc}$$

$\boxed{10}\frac{m_a}{sin\frac{A}{2}}+\frac{m_b}{sin\frac{B}{2}}+\frac{m_c}{sin\frac{C}{2}}$$\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{2r}$

$$\boxed{11}$$ $$a+b+c\le 3\sqrt{3}R$$

$$\boxed{12}\frac{1}{R}+\frac{1}{r}\ge \frac{9\sqrt{3}}{2p}$$

$\boxed{13}{a}^{2}M{A}^2+b^{2}M{B}^2+c^{2}M{C}^2\ge \frac{3a^2{b}^2{c}^2}{a^2+b^2+c^2}$ với $M$ tùy ý.

$$\boxed{14}{l}_a+l_b+l_c\le \frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)$$

$$\boxed{15}{p}^2\le 6R^2+3r^2$$

$\boxed{16}$ Làm mạnh BĐT $Hadwinger-Finsler$ :

a) $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3+\frac{4(R-2r)}{4R+r}}+(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$

b) $a^2+b^2+c^2\ge \left(4\sqrt{3}+\frac{O{G}^2}{R^2}\right)S+(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$

c) $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S+(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+16Rr\left({\sum }_{cyc}co{s}^2\frac{A}{2}-{\sum }_{cyc}cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}\right)$

d) $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}+\frac{(a^2-b^2{)}^2+(b^2-c^2{)}^2+(c^2-a^2{)}^2}{a^2+b^2+c^2}$

$$\boxed{17}R+r\ge \sqrt[4]{3}\sqrt{S}$$

$$\boxed{18}8[(p-a)(p-b)(p-c){]}^2\ge a^2{b}^2{c}^2.cosA.cosB.cosC$$

$$\boxed{19}{a}^4+b^4+c^4\ge 16S^2$$

$\boxed{20}2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)$$\ge 4\left(\frac{a^2(p-a)}{b+c}+\frac{b^2(p-b)}{c+a}+\frac{c^2(p-c)}{a+b}\right)$$\ge 4\sqrt{3}S$

$\boxed{21}\frac{(b+c-a)a^2}{b+c}+\frac{(c+a-b)b^2}{c+a}+\frac{(a+b-c)c^2}{a+b}$$\ge 2\sqrt{3}S$

$$\boxed{22}OI\ge OG$$,  $$2OI\ge IH$$

$$\boxed{23}(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\le 8R(R-2r)$$

$\boxed{24}$ Tổng quát $Hadwinger-Finsler$

a) Chứng minh rằng với $n$ nguyên dương thì :

$$(\ast )$$ $a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}$$\ge 3{\left(\frac{4S}{\sqrt{3}}\right)}^n+(a-b{)}^{2n}+(b-c{)}^{2n}+(c-a{)}^{2n}$

$$(\ast )$$ $a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}$$\ge 3{\left(\frac{4S}{\sqrt{3}}\right)}^n+(a-b{)}^{2n}+(b-c{)}^{2n}+(c-a{)}^{2n}+\sum _{cyc}(a+b-c{)}^n|a-b{|}^n$

b) Cho tứ giác lồi có các cạnh $a,b,c,d$ có diện tích $S$. Chứng minh rằng với $n$ nguyên dương thì :

$a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}+d^{2n}$$\ge 4S^n+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^{2n}+{\left(\frac{b-c}{2}\right)}^{2n}+{\left(\frac{c-a}{2}\right)}^{2n}+{\left(\frac{a-d}{2}\right)}^{2n}$

$\boxed{25}$ Mở rộng $Weitzenbock$ :

Cho $a_1;b_1;c_1$ là độ dài cạnh tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ có diện tích $S_1$ và $a_2,b_2,c_2$ là độ dài 3 cạnh tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ có diện tích $S_2$. Chứng minh:

$$a_1^2(b_2^2+c_2^2-a_2^2)+b_1^2(c_2^2+a_2^2-b_2^2)+c_1^2(a_2^2+b_2^2-c_2^2)\ge 16S_1{S}_2$$

$\boxed{26}$ Làm mạnh $Gerretsen$ : $p^2\le \frac{R(4R+r{)}^2}{2(2R-r)}$

$$\boxed{27}$$ $$h_a{m}_a^4+h_b{m}_b^4+h_c{m}_c^4\ge 9\sqrt[4]{3}.S^2\sqrt{S}$$

$$\boxed{28}$$ $\left(\frac{h_a}{l_a}-sin\frac{A}{2}\right)\left(\frac{h_b}{l_b}-sin\frac{B}{2}\right)\left(\frac{h_c}{l_c}-sin\frac{C}{2}\right)$$\le \frac{r}{4R}$

$$\boxed{29}$$ $$\frac{1}{\sqrt{m_a}}+\frac{1}{\sqrt{m_b}}+\frac{1}{\sqrt{m_c}}\ge \sqrt{\frac{6}{R}}$$

$\boxed{30}\frac{cos\frac{B-C}{2}}{sin\frac{A}{2}}+\frac{cos\frac{C-A}{2}}{sin\frac{B}{2}}+\frac{cos\frac{A-B}{2}}{sin\frac{C}{2}}\ge 6$ (tam giác $ABC$ nhọn)

$$\boxed{31}sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA\ge 9{\left(\frac{r}{R}\right)}^2$$

$$\boxed{32}{a}^2+b^2+c^2\ge \frac{36}{35}\left(p^2+\frac{abc}{p}\right)$$

$\boxed{33}\left(\frac{a}{cosA}+\frac{b}{cosB}-c\right)\left(\frac{b}{cosB}+\frac{c}{cosC}-a\right)\left(\frac{c}{cosC}+\frac{a}{cosA}-b\right)$$\ge 27abc$

$$\boxed{34}\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{r}{R}\ge 2$$

$\boxed{35}\left(1+\frac{1}{sinA}\right)\left(1+\frac{1}{sinB}\right)\left(1+\frac{1}{sinC}\right)$$\ge {\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^3$

$\boxed{36}\frac{a^8}{co{s}^2\frac{A}{2}}+\frac{b^8}{co{s}^2\frac{B}{2}}+\frac{c^8}{co{s}^2\frac{C}{2}}$$\ge {\left(\frac{abc\sqrt{6}}{3R}\right)}^4$

$\boxed{37}sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}+sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}+sin\frac{C}{2}sin\frac{A}{2}$$\le \frac{5}{8}+\frac{r}{4R}$

$\boxed{38}sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA$$\le \frac{7}{4}+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

$\boxed{39}(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)\ge cosAcosBcosC$ (tam giác nhọn)

$$\boxed{40}1+cosAcosBcosC\ge 9sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$$

$$\boxed{41}{h}_a{h}_b+h_b{h}_c+h_c{h}_a\le p^2$$

$$\boxed{42}r(r_a+r_b+r_c)\le \frac{a^3+b^3+c^3}{3}+\frac{co{s}^{3}A+co{s}^{3}B+co{s}^{3}C}{6}$$

$\boxed{42}cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos\frac{C-A}{2}\ge 8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$ (tam giác nhọn)

$\boxed{43}co{s}^2\frac{A-B}{2}+co{s}^2\frac{B-C}{2}+co{s}^2\frac{C-A}{2}\ge 24sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$ (tam giác nhọn)

$\boxed{44}tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA\ge 3+\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\frac{1}{cosC}$ (tam giác nhọn)

$\boxed{45}\frac{cos\frac{B-C}{2}}{sin\frac{A}{2}}+\frac{cos\frac{C-A}{2}}{sin\frac{B}{2}}+\frac{cos\frac{A-B}{2}}{sin\frac{C}{2}}$$\le 2\left(\frac{tan\frac{A}{2}}{tan\frac{B}{2}}+\frac{tan\frac{B}{2}}{tan\frac{C}{2}}+\frac{tan\frac{C}{2}}{tan\frac{A}{2}}\right)$

$$\boxed{46}$$

$$abc(a+b+c)\le abc\left[(b+c)sin\frac{A}{2}+(c+a)sin\frac{B}{2}+(a+b)sin\frac{C}{2}\right]$$

$$+4Rr\left(a^2+b^2+c^2-2absin\frac{C}{2}-2bcsin\frac{A}{2}-2casin\frac{B}{2}\right)$$

$\boxed{47}$ Cho điểm $M$ thuộc miền trong tam giác $ABC$, gọi $d_1,d_2,d_3$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $M$ đến các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng nếu $d_1{d}_2{d}_3\ge r^3$ thì $OM\le OI$

$\boxed{48}\frac{1+cosA}{(1-cosB)(1-cosC)}+\frac{1+cosB}{(1-cosC)(1-cosA)}+\frac{1+cosC}{(1-cosA)(1-cosB)}$$\ge 18$

$\boxed{49}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, các phân giác trong $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Chứng minh rằng $\frac{A{A}^{\prime }}{A{A}_1}+\frac{B{B}^{\prime }}{B{B}_1}+\frac{C{C}^{\prime }}{C{C}_1}\le \frac{9}{4}$

$\boxed{50}$  Cho hai đường tròn đồng tâm $(O,R)$ và $(O,R_1)$ với $R_1>R$. Tia $AB,BC,CD,DA$ lần lượt cắt $(O,R_1)$ tại $A_1,B_1,C_1,D_1$. Chứng minh rằng $\frac{S_{A_1{B}_1{C}_1{D}_1}}{S_{ABCD}}\ge \frac{R_1^2}{R^2}$

$$\boxed{51}$$ $\frac{sinAsinB}{si{n}^2\frac{C}{2}}+\frac{sinBsinC}{si{n}^2\frac{A}{2}}+\frac{sinC.sinA}{si{n}^2\frac{B}{2}}$$\ge 9$

$\boxed{52}$ Cho tam giác $ABC$ có ba đường trung tuyến $AM,BN,CP$ đồng quy tại $G$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần lượt tại $D,E,F$. Chứng minh rằng :

$\frac{1}{GD}+\frac{1}{GE}+\frac{1}{GF}$$\le \sqrt{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

$\boxed{53}$ Cho tam giác $ABC$ thỏa điều kiện $C\le B\le A\le \frac{\pi }{2}$. Chứng minh rằng :

$$P=cos\frac{A-B}{2}sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}\le \frac{1}{4}$$