[Bài toán] Số chính phương

Bài toán : Cho ba số nguyên dương $a,b,c$ có ước chung lớn nhất bằng $1$ và thỏa mãn $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a-b$ là một số chính phương.

Lời giải :

Gọi $d=gcd(a,b)\Rightarrow \{\begin{array}{c}a=d{a}_1\\ b=d{b}_1\\ gcd(d,c)=1\end{array}(a_1,b_1\in {\mathbb{Z}}^{+})$.

Thay vào giả thiết :

$$d^2{a}_1{b}_1=cd(a_1-b_1)\Rightarrow d{a}_1{b}_1=c{a}_1-c{b}_1\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}{a}_1|c{b}_1& & \\ b_1|c{a}_1& & \end{array}$$

Lại có $gcd(a_1,b_1)=1$ nên $a_1|c,b_1|c\Rightarrow a_1{b}_1|c$

Mặt khác cũng vì $d{a}_1{b}_1=c(a_1-b_1)\Rightarrow c|d{a}_1{b}_1\Rightarrow c|a_1{b}_1$ do $gcd(d,c)=1$. Từ đó ta suy ra $c=a_1{b}_1$.

Vậy : $d(a_1-b_1)=d^2\iff a-b=d^2$ là một số chính phương.