[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng :

$$a\sqrt{4-a^2}+b\sqrt{4-b^2}+c\sqrt{4-c^2}\le 3\sqrt{3}$$

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành : ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2+2.\frac{a}{2}.\frac{b}{2}.\frac{c}{2}=1$

Do đó $0<\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2}<1$. Ta đặt $\frac{a}{2}=cosA,\frac{b}{2}=cosB,\frac{c}{2}=cosC$

Khi đó cần chứng minh :

$2cosA\sqrt{4-4co{s}^{2}A}+2cosB\sqrt{4-co{s}^{2}B}+2cosC\sqrt{4-4co{s}^{2}C}$$\le 3\sqrt{3}$$\iff sinA.cosA+sinB.cosB+sinC.cosC$$\le \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $sinA\ge sinB\ge sinC\Rightarrow cosA\le cosB\le cosC$.

Theo  BĐT $Tchebyshev$ :

$sinA.cosA+sinB.cosB+sinC.cosC$$\le \frac{1}{3}\left(sinA+sinB+sinC\right)(cosA+cosB+cosC)$$\le \frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}.\frac{3}{2}$$=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Ta có điều phải chứng minh.