Bài toán : Cho hai đa thức hệ số nguyên : $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ và $Q(x)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}$. Biết rằng $a_{n}-b_{n}$ là một số nguyên tố và $a_{n-1}=b_{n-1}$. Gọi $m$ là một nghiệm hữu tỷ chung của hai đa thức. Chứng minh rằng $m$ là một số nguyên. Lời giải : Đặt $m=\dfrac{r}{s}\;\;\;(r,s\in \mathbb{Z},gcd(r,s)=1)$. Ta có : $P\left ( \dfrac{r}{s} \right )=0\Rightarrow r|a_{0},s|a_{n}$ Tương tự $r|b_{0},s|b_{n}$. Từ đó ta có $s|a_{n}-b_{n}$ mà $a_n-b_n$ là một số nguyên tố nên $s=1$ hoặc $s=a_n-b_n$. Nếu $s=1$ thì $m=\dfrac{r}{s}=r\in \mathbb{Z}$, ta có điều phải chứng minh. Nếu $s=a_n-b_n$ : Ta có : \[P\left ( \dfrac{r}{s} \right )-Q\left ( \dfrac{r}{s} \right )=0\Leftrightarrow (a_n-b_n)\left ( \dfrac{r}{s} \right )^{n}+(a_{n-2}-b_{n-2})\left ( \dfrac{r}{s} \right )^{n-2}+...+(a_1-b_1).\dfrac{r}{s}+(a_0-b_0)=0\Leftrightarrow (a_{n}-b_n).r^{n}+(a_{n-2}-b_{n-2})r^{n-2}.s^{2}+...+(a_1-b_1)r.s^{n-1}+(a_0-b_0)s^{n}=0\Leftrightarrow s.r^{n}+(a_{n-2}-b_{n-2})r^{n-2}.s^{2}+...+(a_1-b_1)r.s^{n-1}+(a_0-b_0)s^{n}=0\Rightarrow s|r^{n}\]. Lại có $s$ nguyên tố nên $s|r$, mâu thuẫn với $gcd(r,s)=1$. Như vậy ta có điều phải chứng minh.

[Bài toán] Đa thức hệ số nguyên

Bài toán : Cho hai đa thức hệ số nguyên :

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}$ và $Q (x) = b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + ... + b_{1} x + b_{0}$ .

Biết rằng $a_{n} - b_{n}$ là một số nguyên tố và $a_{n - 1} = b_{n - 1}$ . Gọi $m$ là một nghiệm hữu tỷ chung của hai đa thức. Chứng minh rằng $m$ là một số nguyên.

Lời giải :

Đặt $m = \frac{r}{s} (r, s \in Z, g c d (r, s) = 1)$ .

Ta có : $P (\frac{r}{s}) = 0 \Rightarrow r ∣ a_{0}, s ∣ a_{n}$

Tương tự $r ∣ b_{0}, s ∣ b_{n}$ .

Từ đó ta có $s ∣ a_{n} - b_{n}$ mà $a_{n} - b_{n}$ là một số nguyên tố nên $s = 1$ hoặc $s = a_{n} - b_{n}$ .

Nếu $s = 1$ thì $m = \frac{r}{s} = r \in Z$ , ta có điều phải chứng minh.
Nếu $s = a_{n} - b_{n}$ :

Ta có :

$P (\frac{r}{s}) - Q (\frac{r}{s}) = 0 \Leftrightarrow (a_{n} - b_{n}) (\frac{r}{s})^{n} + (a_{n - 2} - b_{n - 2}) (\frac{r}{s})^{n - 2} + ... + (a_{1} - b_{1}) . \frac{r}{s} + (a_{0} - b_{0}) = 0 \Leftrightarrow (a_{n} - b_{n}) . r^{n} + (a_{n - 2} - b_{n - 2}) r^{n - 2} . s^{2} + ... + (a_{1} - b_{1}) r . s^{n - 1} + (a_{0} - b_{0}) s^{n} = 0 \Leftrightarrow s . r^{n} + (a_{n - 2} - b_{n - 2}) r^{n - 2} . s^{2} + ... + (a_{1} - b_{1}) r . s^{n - 1} + (a_{0} - b_{0}) s^{n} = 0 \Rightarrow s ∣ r^{n}$ .

Lại có $s$ nguyên tố nên $s ∣ r$ , mâu thuẫn với $g c d (r, s) = 1$ .

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

[Bài toán] Đa thức hệ số nguyên

Đề bài

Mô tả