[Bài toán] Áp dụng định lí Euler

Bài toán : Cho các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $m,n$. Chứng minh rằng :  $m^{\phi (n)}+n^{\phi (m)}\equiv 1(modmn)$

Lời giải :

Áp dụng định lí $Euler$ :

$m^{\phi (n)}$$\equiv 1(modn)$$\Rightarrow m^{\phi (n)}+n^{\phi (m)}$$\equiv 1(modn)$$\Rightarrow m^{\phi (n)}+n^{\phi (m)}$$=np+1(p\in \mathbb{N})$

Hoàn toàn tương tự thì :

$m^{\phi (n)}+n^{\phi (m)}$$\equiv 1(modm)$$\Rightarrow np+1$$\equiv 1(modm)$$\Rightarrow np$$\equiv 0(modm)$.

Mà $gcd(m,n)=1\Rightarrow m|p\Rightarrow p=mq(q\in \mathbb{N})\Rightarrow m^{\phi (n)}+n^{\phi (m)}=mnq+1$

Hay $m^{\phi (n)}+n^{\phi (m)}\equiv 1(modmn)$. Đây là điều phải chứng minh