[Bài toán] Khai triển Abel, BĐT hình học

Bài toán :

1) Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a\ge b\ge c>0$ và $\{\begin{array}{c}x\ge a\\ x+y\ge a+b\\ x+y+z\ge a+b+c\end{array}$. Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2\ge a^2+b^2+c^2$

2) Cho tam giác $ABC$ không nhọn. Chứng minh rằng :

$$A^2+B^2+C^2\ge \frac{3{\pi }^2}{8}$$

Lời giải :

1) Sử dụng khai triển $Abel$ và bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ :

$x^2+y^2+z^2$$=a.\frac{x^2}{a}+b.\frac{y^2}{b}b+c.\frac{z^2}{c}$$=(a-b).\frac{x^2}{a}+(b-c)\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\right)+c\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)$$\ge (a-b).a+(b-c).\frac{(x+y{)}^2}{a+b}+c.\frac{(x+y+z{)}^2}{a+b+c}$$\ge a(a-b)+(b-c)(a+b)+c(a+b+c)$$=a^2+b^2+c^2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=a,y=b,z=c$

2) Vì tam giác $ABC$ không nhọn nên ta giả sử $A\ge \frac{\pi }{2}$, khi đó $B+C\le \frac{\pi }{2}$. Do đó tồn tại một góc có số đó không vượt quá $\frac{\pi }{4}$. Gỉa sử $C\le \frac{\pi }{4}\Rightarrow B\ge \frac{\pi }{4}$.

Khi đó ta có $\{\begin{array}{c}A\ge \frac{\pi }{2}\\ A+B\ge \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\\ A+B+C=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\end{array}$ và $A\ge B\ge C>0$.

Áp dụng kết quả câu trên, ta có :

$A^2+B^2+C^2$$\ge {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2+{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2+{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2$$=\frac{3{\pi }^2}{8}$.

Đẳng thức xảy ra khi $A=\frac{\pi }{2},B=C=\frac{\pi }{4}\iff \Delta ABC$ vuông cân.