Những công thức hình học cơ bản

Xét tam giác $ABC$ có ba cạnh $AB=c,BC=a,CA=b$, $O,I,H,G$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác, trực tâm và trọng tâm tam giác. Gọi

– $p,S$ là nửa chu vi, diện tích tam giác.

– $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao của tam giác

– $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến của tam giác

– $l_a,l_b,l_c$ là ba đường phân giác của tam giác

– $R,r,r_a,r_b,r_c$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp của tam giác

CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1) Diện tích :

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (hệ thức $Herons$)

$$S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c$$

$$S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}bc.sinA=\frac{1}{2}ca.sinB$$

$$S=pr=\frac{abc}{4R}=2R^2.sinA.sinB.sinC=p^2.tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}.tan\frac{C}{2}$$

$$S=\frac{a^{2}sinB.sinC}{2sinA}=\frac{b^2.sinA.sinC}{2sinB}=\frac{c^2.sinA.sinB}{2sinC}$$

$$S=(p-a)r_a=(p-b)r_b=(p-c)r_c=\sqrt{r{r}_a{r}_b{r}_c}$$

2) Trung tuyến, phân giác, đường cao :

a) Trung tuyến : 

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$$,    $$m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}$$,     $$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$$

b) Phân giác :

Phân giác trong :

$$l_a=\frac{2}{b+c}\sqrt{pbc(p-a)}=\frac{2bc.cos\frac{A}{2}}{b+c}$$,   $$l_b=\frac{2}{c+a}\sqrt{pca(p-b)}=\frac{2ca.cos\frac{B}{2}}{c+a}$$,   $$l_c=\frac{2}{a+b}\sqrt{pab(p-c)}=\frac{2ab.cos\frac{C}{2}}{a+b}$$

Phân giác ngoài :

$$l_a^{\prime }=\frac{2bcsin\frac{A}{2}}{|b-c|}=\frac{2}{|b-c|}\sqrt{bc(p-b)(p-c)}$$

với $l_a^{\prime }$ là phân giác ngoài góc $A$ của tam giác.

d) Đường cao :

$$h_a=\frac{2S}{a},h_b=\frac{2S}{b},h_c=\frac{2S}{c}$$

3) Bán kính các đường tròn :

$r$$=(p-a)tan\frac{A}{2}$$=(p-b)tan\frac{B}{2}$$=(p-c)tan\frac{C}{2}$$=\frac{S}{p}$$=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

$$R=\frac{a}{2sinA}=\frac{b}{2sinB}=\frac{c}{2sinC}=\frac{abc}{4S}$$

$r_a$$=p.tan\frac{A}{2}$$=\frac{S}{p-a},r_b$$=p.tan\frac{B}{2}$$=\frac{S}{p-b},r_c$$=c.tan\frac{C}{2}$$=\frac{S}{p-c}$

4) Định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, định lí hàm số tan, định lí hàm số cot

Định lí hàm số sin $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$

Định lí hàm số cos $a^2=b^2+c^2-2bc.cosA,b^2=c^2+a^2-2ca.cosB,c^2=a^2+b^2-2ab.cosC$

Định lí hàm số tan :

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan\frac{A-B}{2}}{tan\frac{A+B}{2}}=tan\frac{A-B}{2}tan\frac{C}{2}$$

Định lí hàm số cos suy rộng $cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S},cotB=\frac{c^2+a^2-b^2}{4S},cotC=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$