[Bài toán] Bất đẳng thức hình học

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng $\frac{aIA}{IB.IC}+\frac{bIB}{IC.IA}+\frac{cIC}{IA.IB}\ge 3\sqrt{3}$.

Lời giải :

Bổ đề : Với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, ta luôn có $IA.IB.IC=4R{r}^2$

Chứng minh bổ đề : 

Dễ thấy rằng $IA=r.sin\frac{A}{2},IB=r.sin\frac{B}{2},IC=r.sin\frac{C}{2}$.

Do đó ta cần chứng minh :

$r^3.sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=4R{r}^2\iff sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{r}{4R}$. Đây là một đẳng thức quen thuộc. Như vậy bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Ta có thể viết điều phải chứng minh thành :

$$\frac{aI{A}^2+bI{B}^2+cI{C}^2}{IA.IB.IC}\ge 3\sqrt{3}$$

Ta sử dụng một đẳng thức quen thuộc $aI{A}^2+bI{B}^2+cI{C}^2=abc$, cùng với bổ đề trên, ta viết điều cần chứng minh thành :

$\frac{abc}{4R{r}^2}$$\ge 3\sqrt{3}$$\iff \frac{S}{r^2}$$\ge 3\sqrt{3}$$\iff p$$\ge 3\sqrt{3}r$$=3\sqrt{\frac{3(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

Thế nhưng điều này luôn đúng theo $AM-GM$ :

$3\sqrt{\frac{3(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$\le 3\sqrt{\frac{3.(p-a+p-b+p-c{)}^3/27}{p}}$$=3\sqrt{\frac{p^3}{9p}}$$=p$

Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi tam giác $ABC$ đều.