[Bài toán] Bài toán về hàm Euler

Bài toán : Tìm số nguyên dương $n$ sao cho :

$$a)$$ $$\phi (n)=\frac{n}{2}$$       $$b)$$ $$\phi (n)=\frac{n}{3}$$

Lời giải :

Gỉa sử $n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}...p_m^{e_m}$ với $p_i\in \mathbb{P},e_i\in {\mathbb{Z}}^{+},i=\overline{1,m}$

a) Ta có $\phi (n)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)...\left(1-\frac{1}{p_m}\right)=\frac{n}{2}\Rightarrow 2{\prod }_{i=1}^m\left(p_i-1\right)={\prod }_{i=1}^m{p}_i$

Gỉa sử trong các số $p_i$ có $t$ số lẻ, khi đó :

$$2^{t+1}\parallel 2\prod _{i=1}^m{p}_i\Rightarrow 2^{t+1}\parallel \prod _{i=1}^m{p}_i$$.

Suy ra có $t+1$ số chẵn trong các số $p_i$ $\Rightarrow t=0,m=1$

Kết luận : $\boxed{n=2^k}(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

 

b) Ta có $\phi (n)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)...\left(1-\frac{1}{p_m}\right)=\frac{n}{3}\Rightarrow 3{\prod }_{i=1}^m\left(p_i-1\right)={\prod }_{i=1}^m{p}_i$

Gỉa sử trong các số $p_i$ có $t$ số lẻ, khi đó :

$$2^t\parallel 3\prod _{i=1}^m(p_i-1)\Rightarrow 2^t\parallel \prod _{i=1}^m{p}_i$$

Suy ra có $t$ số chẵn trong các số $p_i$ $\Rightarrow t=1,m=2$

Ta có phương trình $3(2-1)(p_1-1)=2.p_1\Rightarrow p_1=3$.

Kết luận : $\boxed{n=2^k.3^s}(k,s\in {\mathbb{N}}^{\ast })$