[Bài toán] Vieta Jumping

Bài toán : (VMO 2002) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương $k$ sao cho phương trình $(x+y+z+t{)}^2=k^{2}xyzt$ có nghiệm nguyên dương.

Lời giải :

Viết lại phương trình dưới dạng : $x^2+(2y+2z+2t-k^{2}yzt)x+(y+z+t{)}^2=0$

Trong các nghiệm nguyên dương của phương trình, ta chọn ra bộ nghiệm $(X,Y,Z,T)$ có tổng $X+Y+Z+T$ nhỏ nhất.

Khi đó dễ thấy $X$ là một nghiệm của phương trình bậc hai :

$$x^2+(2Y+2Z+2T-k^{2}YZT)x+(Y+Z+T{)}^2=0(\ast )$$

Gọi nghiệm còn lại của $(1)$ là $X_0$, theo định lí $Viete$ :

$$\{\begin{array}{ccc}X+X_0=k^{2}YZT-2Y-2Z-2T& (1)& \\ X.X_0=(Y+Z+T{)}^2& (2)& \end{array}$$

Từ $(1)$ ta có $X_0$ nguyên và từ $(2)$ ta có $X_0$ dương. Như vậy $(X_0,Y,Z,T)$ cũng là một bộ số thỏa $(\ast )$, nhưng vì tính nhỏ nhất của tổng $X+Y+Z+T$ mà ta có $X_0\ge X$.

Do đó từ $(2)$ ta suy ra $X_0=\frac{(Y+Z+T{)}^2}{X}\ge X\Rightarrow Y+Z+T\ge X$

Kết hợp với $(1)$ : $k^{2}YZT-2Y-2Z-2T-X\ge X\Rightarrow k^{2}YZT\ge 2X+2(Y+Z+T)\ge 4X$.

Chia hai vế của đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2+T^2+2XY+2XZ+2XT+2YZ+2YT+2ZT=k^{2}XYZT$ cho $XYZT$, ta được :

$\frac{X}{YZT}+\frac{Y}{XZT}+\frac{Z}{XYT}+\frac{T}{XYZ}+\frac{2}{ZT}+\frac{2}{YT}+\frac{2}{YZ}+\frac{2}{XT}+\frac{2}{XZ}+\frac{2}{XY}$$=k^2$

Bây giờ, ta có quyền giả sử $X\ge Y\ge Z\ge T\ge 1$

Khi đó $\frac{X}{YZT}\le \frac{k^2}{4},\frac{Y}{ZTX}\le \frac{1}{ZT}\le 1,\frac{Z}{XYT}\le \frac{1}{XT}\le 1,\frac{T}{XYZ}\le \frac{1}{XY}\le 1$

Từ đó ta có thể suy ra :

$k^2$$\le \frac{k^2}{4}+1+1+1+2+2+2+2+2+2$$=\frac{k^2}{4}+15$$\Rightarrow k^2$$\le 20$$\Rightarrow k\in \left\{1,2,3,4\right\}$

Nếu $k=1$, phương trình có nghiệm $(4,4,4,4)$

Nếu $k=2$, phương trình có nghiệm $(2,2,2,2)$

Nếu $k=3$, phương trình có nghiệm $(1,1,2,2)$

Nếu $k=4$, phương trình có nghiệm $(1,1,1,1)$.

Kết luận: Để phương trình có nghiệm nguyên dương thì tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của $k$ là $\boxed{k\in \left\{1,2,3,4\right\}}$