HỆ THỨC HÌNH HỌC \[\boxed{1}\] \[sinA+sinB+sinC=4cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}\] \[\boxed{2}\] \[sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}=\dfrac{r}{4R}\] \[\boxed{3}\] \[cosA+cosB+cosC=1+4.sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}=1+\dfrac{r}{R}\] \[\boxed{4}\] \[sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC\] \[\boxed{5}\] \[cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C=1-2cosAcosBcosC\] \[\boxed{6}\] \[(p-a)^{2}sinA+(p-b)^{2}sinB+(p-c)^{2}sinC=4r(2R-r)cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}\] \[\boxed{7}\] \[sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C=2+2cosAcosBcosC\] \[\boxed{8}\] \[tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{C}{2}tan\dfrac{A}{2}=1\] \[\boxed{9}\] \[cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1\] \[\boxed{10}\] \[tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\] \[\boxed{11}\;\;\;cos\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}},\;\;tan\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}\], \[sin\dfrac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}\] \[\boxed{12}\;\;\;(a-b)cot\dfrac{C}{2}+(b-c)cot\dfrac{A}{2}+(c-a)cot\dfrac{B}{2}=0\] \[\boxed{13}\;\;\;bc.cot\dfrac{A}{2}+ca.cot\dfrac{B}{2}+ab.cot\dfrac{C}{2}=4Rp^{2}\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} -\dfrac{3}{p}\right )\] \[\boxed{14}\;\;\;r=p.tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}.tan\dfrac{C}{2}\] \[\boxed{15}\] \[\dfrac{1}{r_{a}}+\dfrac{1}{r_{b}}+\dfrac{1}{r_{c}}=\dfrac{1}{h_{a}}+\dfrac{1}{h_{b}}+\dfrac{1}{h_{c}}=\dfrac{1}{r}\] $\boxed{16}$ $OI^{2}=R^{2}-2Rr$ (hệ thức $Euler$) \[OH^{2}=9R^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}\] \[OG^{2}=R^{2}-\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{9}\] \[IH^{2}=4R^2+4Rr+3r^2-p^2\] \[IG^{2}=\dfrac{1}{9}(p^2-16Rr+5r^2)\] $\boxed{17}$ Hệ thức $Leibniz$ : \[GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}=\dfrac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\] $MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$ với $M$ tùy ý. \[\boxed{18}\] \[IA.IB.IC = 4Rr^2\], \[a.IA^2 + b.IB^2 + c.IC^2 = abc\] $\boxed{19}$ Ba tiếp điểm $D,E,F$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$. Tam giác $DEF$ có $EF=a',DE=c',FD=b'$ và có diện tích $S$. Chứng minh : a) $\dfrac{a'}{a}+\dfrac{b'}{b}+\dfrac{c'}{c}=2\left ( sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2} +sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}+sin\dfrac{C}{2}sin\dfrac{A}{2}\right )$ b) $\dfrac{S'}{S}=2sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}$ \[\boxed{20}\;\;\;\dfrac{a^2cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\frac{b^2cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{c^2cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}=2(ab+bc+ca)\] \[\boxed{21}\] a) Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,AB=AC=b$ và $A=\dfrac{\pi }{9}$. Chứng minh rằng : \[a^3+b^3=3ab^2\;\;\;(1)\] b) Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,AB=AC=b$ và $A=\dfrac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng : \[a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0\;\;\;(2)\] HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN VECTOR \[\boxed{1}\] \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\] \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\] \[\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\] \[2\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\] $\boxed{2}$ Cho tam giác $ABC$ với $M$ là điểm bất kì trong tam giác : \[tanA.\overrightarrow{HA}+tanB.\overrightarrow{HB}+tanC.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}\] \[a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\] \[S_{MBC}.\overrightarrow{MA}+S_{MCA}.\overrightarrow{MB}+S_{MAB}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\] $\boxed{3}$ Với bốn điểm $A,B,C,D$ bất kì : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$ (Hệ thức $Euler$) $\boxed{4}$ Nếu $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ thì với mọi điểm $M$ : $\alpha_{1} MA_{1}^{2}++\alpha _{2}MA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}MA_{n}^{2}=\alpha _{1}IA_{1}^{2}+\alpha _{2}IA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}IA_{n}^{2}+\left ( \alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n} \right )MI^{2}$ (Hệ thức $Jacobi$) $\boxed{5}$ Cho $O$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ và $\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}\neq 0$ thì khi đó ta có : \[\alpha _{1}OA_{1}^{2}+\alpha _{2}OA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}OA_{n}^{2}\] \[=\dfrac{1}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}}(\alpha _{1}\alpha _{2}A_{1}A_{2}^{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}A_{1}A_{3}^{2}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}A_{1}A_{n}^{2}\] \[+\alpha _{2}\alpha _{3}A_{2}A_{3}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{4}A_{2}a_{4}^{2}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}A_{2}A_{n}^{2}+....+\alpha _{n-1}\alpha_ n A_{n-1}A_{n}^{2})\] $\boxed{6}$ Cho $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{i},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ bất kì, ta có : \[MI^{2}=\alpha _{1}MA_{1}^{

Những đẳng thức hình học

HỆ THỨC HÌNH HỌC

$1$ $s in A + s in B + s in C = 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}$

$2$ $s in \frac{A}{2} s in \frac{B}{2} s in \frac{C}{2} = \frac{r}{4 R}$

$3$ $cos A + cos B + cos C = 1 + 4. s in \frac{A}{2} s in \frac{B}{2} s in \frac{C}{2} = 1 + \frac{r}{R}$

$4$ $s in 2 A + s in 2 B + s in 2 C = 4 s in A s in B s in C$

$5$ $co s^{2} A + co s^{2} B + co s^{2} C = 1 - 2 cos A cos B cos C$

$6$ $(p - a)^{2} s in A + (p - b)^{2} s in B + (p - c)^{2} s in C = 4 r (2 R - r) cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}$

$7$ $s i n^{2} A + s i n^{2} B + s i n^{2} C = 2 + 2 cos A cos B cos C$

$8$ $t an \frac{A}{2} t an \frac{B}{2} + t an \frac{B}{2} t an \frac{C}{2} + t an \frac{C}{2} t an \frac{A}{2} = 1$

$9$ $co t A co tB + co tB co tC + co tC co t A = 1$

$10$ $t an A + t an B + t an C = t an A t an B t an C$

$11 cos \frac{A}{2} = \frac{p ( p - a )}{b c}, t an \frac{A}{2} = \frac{( p - b ) ( p - c )}{p ( p - a )}$ , $s in \frac{A}{2} = \frac{( p - b ) ( p - c )}{b c}$

$12 (a - b) co t \frac{C}{2} + (b - c) co t \frac{A}{2} + (c - a) co t \frac{B}{2} = 0$

$13 b c . co t \frac{A}{2} + c a . co t \frac{B}{2} + ab . co t \frac{C}{2} = 4 R p^{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{3}{p})$

$14 r = p . t an \frac{A}{2} . t an \frac{B}{2} . t an \frac{C}{2}$

$15$ $\frac{1}{r _{a}} + \frac{1}{r _{b}} + \frac{1}{r _{c}} = \frac{1}{h _{a}} + \frac{1}{h _{b}} + \frac{1}{h _{c}} = \frac{1}{r}$

$16$ $O I^{2} = R^{2} - 2 R r$ (hệ thức $E u l er$ )

$O H^{2} = 9 R^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2}$

$O G^{2} = R^{2} - \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{9}$

$I H^{2} = 4 R^{2} + 4 R r + 3 r^{2} - p^{2}$

$I G^{2} = \frac{1}{9} (p^{2} - 16 R r + 5 r^{2})$

$17$ Hệ thức $L e ibni z$ :

$G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{3}$ với $M$ tùy ý.

$18$ $I A . I B . I C = 4 R r^{2}$ , $a . I A^{2} + b . I B^{2} + c . I C^{2} = ab c$

$19$ Ba tiếp điểm $D, E, F$ của đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$ lần lượt thuộc $B C, C A, A B$ . Tam giác $D E F$ có $E F = a^{'}, D E = c^{'}, F D = b^{'}$ và có diện tích $S$ . Chứng minh :

a) $\frac{a ^{'}}{a} + \frac{b ^{'}}{b} + \frac{c ^{'}}{c} = 2 (s in \frac{A}{2} s in \frac{B}{2} + s in \frac{B}{2} s in \frac{C}{2} + s in \frac{C}{2} s in \frac{A}{2})$

b) $\frac{S ^{'}}{S} = 2 s in \frac{A}{2} s in \frac{B}{2} s in \frac{C}{2}$

$20 \frac{a ^{2} cos \frac{B - C}{2}}{s in \frac{A}{2}} + \frac{b ^{2} cos \frac{C - A}{2}}{s in \frac{B}{2}} + \frac{c ^{2} cos \frac{A - B}{2}}{s in \frac{C}{2}} = 2 (ab + b c + c a)$

$21$

a) Cho tam giác $A B C$ có $B C = a, A B = A C = b$ và $A = \frac{π}{9}$ . Chứng minh rằng :

$a^{3} + b^{3} = 3 a b^{2} (1)$

b) Cho tam giác $A B C$ có $B C = a, A B = A C = b$ và $A = \frac{π}{7}$ . Chứng minh rằng :

$a^{4} - 3 a^{2} b^{2} - a b^{3} + b^{4} = 0 (2)$

HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN VECTOR

$1$ $G A + GB + GC = 0$

$M A + M B + M C = 3 M G$

$O H = O A + O B + O C$

$2 H O = H A + H B + H C$

$2$ Cho tam giác $A B C$ với $M$ là điểm bất kì trong tam giác :

$t an A . H A + t an B . H B + t an C . H C = 0$

$a I A + b I B + c I C = 0$

$S_{M B C} . M A + S_{M C A} . M B + S_{M A B} . M C = 0$

$3$ Với bốn điểm $A, B, C, D$ bất kì : $A B . C D + A C . B D + A D . B C = 0$ (Hệ thức $E u l er$ )

$4$ Nếu $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm ${A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}$ với các hệ số tương ứng ${α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}}$ thì với mọi điểm $M$ :

$α_{1} M A_{1}^{2} + + α_{2} M A_{2}^{2} + ... + α_{n} M A_{n}^{2} = α_{1} I A_{1}^{2} + α_{2} I A_{2}^{2} + ... + α_{n} I A_{n}^{2} + (α_{1} + α_{2} + ... + α_{n}) M I^{2}$ (Hệ thức $J a co bi$ )

$5$ Cho $O$ là tâm tỉ cự của hệ điểm ${A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}$ với các hệ số tương ứng ${α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}}$ và $α_{1} + α_{2} + ... + α_{n} \neq = 0$ thì khi đó ta có :

$α_{1} O A_{1}^{2} + α_{2} O A_{2}^{2} + ... + α_{n} O A_{n}^{2}$ $= \frac{1}{α _{1} + α _{2} + ... + α _{n}} (α_{1} α_{2} A_{1} A_{2}^{2} + α_{1} α_{3} A_{1} A_{3}^{2} + ... + α_{1} α_{n} A_{1} A_{n}^{2}$ $+ α_{2} α_{3} A_{2} A_{3}^{2} + α_{2} α_{4} A_{2} a_{4}^{2} + ... + α_{2} α_{n} A_{2} A_{n}^{2} + .... + α_{n - 1} α_{n} A_{n - 1} A_{n}^{2})$

$6$ Cho $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm ${A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}$ với các hệ số tương ứng ${α_{i}, α_{2}, ..., α_{n}}$ thỏa mãn $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} = 1$ . Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ bất kì, ta có :

$M I^{2} = α_{1} M A_{1}^{2} + α_{2} M A_{2}^{2} + ... + α_{n} M A_{n}^{2}$

$- (α_{1} α_{2} A_{1} A_{2}^{2} + α_{1} α_{3} A_{1} A_{3}^{2} + ... + α_{1} α_{n} A_{1} A_{n}^{2} + α_{2} α_{3} A_{2} A_{3}^{2} + α_{2} α_{4} A_{2} a_{4}^{2} + ... + α_{2} α_{n} A_{2} A_{n}^{2} + .... + α_{n - 1} α_{n} A_{n - 1} A_{n}^{2})$

(Công thức tính khoảng cách từ một điểm bất kì đến tâm tỉ cự của một hệ điểm)

Những đẳng thức hình học

Đề bài

Mô tả