1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho các số nguyên dương thỏa mãn tích là một số chính phương. Chứng minh rằng đa thức không chia hết cho đa thức với mọi . Lời giải : Ta xét đa thức . Đặt . Không mất tính tổng quát ta giả sử Ta có Ta luôn có . Tương tự thì . Gỉa […]
Bài toán : Một số nguyên được gọi là số nếu nó là tích của các số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , luôn tồn tại số nguyên liên tiếp mà không có số nào là số . Lời giải : Ta xét hệ đồng dư tuyến tính […]
CÔNG THỨC KHAI TRIỂN ABEL Cho và là các số thực tùy ý. Đặt Khi đó : Hai đẳng thức thường dùng : Trường hợp : Trường hợp : Hệ quả của khai triển Abel : Cho hai dãy số thực . Khi đó ta có đẳng thức : Chứng minh : Áp dụng công […]
Bài toán : Cho các số thực thỏa mãn Chứng minh rằng Lời giải : Ta đoán dấu bằng của bài toán bằng cách cho đẳng thức xảy ra tại các giả thiết : . Khi đó viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng Bằng bất đẳng thức ta dễ thấy : Theo khai […]
Bài toán : Cho là các số thực. Chứng minh rằng : Lời giải : Trong hệ tọa độ ta chọn các điểm Ta có : Theo bất đẳng thức tam giác : Đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi thẳng hàng cùng phương
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn : Lời giải : Xét thì , thỏa mãn. Xét : Theo đề bài, ta có : Đặt ta được : Mặt khác đa thức là một đa thức sai phân nên mà nên . Mặt khác ta lại có . Do đó với . Thử […]
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn đồng nhất thức với Lời giải : Cho ta có Cho ta có Cho ta có …. Cho ta có Như vậy đa thức có các nghiệm Đặt Ta suy ra Thay vào phương trình đa thức ban đầu : Như vậy . Thử lại thỏa […]
Định lí Carnot Cho tam giác và các điểm . Các đường thẳng theo thứ tự qua và vuông góc với các cạnh của tam giác. Chứng minh rằng đồng quy khi và chỉ khi Chứng minh : Bổ đề 1 : Cho hai điểm phân biệt và một số thực . Khi đó tồn […]
Bài toán : Cho tam giác . Dựng các tam giác theo thứ tự cân tại . Các điểm theo thứ tự là trung điểm của Gọi lần lượt là các đường thẳng qua và lần lượt vuông góc với . Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy. Lời giải : Ta có bổ […]
Bài toán : Cho tam giác với lần lượt là trung điểm của . Gọi là một điểm bất kì, trên các đường thẳng qua lần lượt vuông góc với lấy các điểm tương ứng không thẳng hàng. Chứng minh rằng ba đường thẳng qua vuông góc với , qua vuông góc với , qua […]
Bài toán : Cho đa thức thỏa mãn điều kiện . a) Chứng minh rằng ta luôn có b) Chứng minh với mọi thỏa mãn thì Lời giải : a) Áp dụng công thức nội suy cho với ba số thực , ta có : Đồng nhất hệ số, ta được : Do đó : […]
Bài toán : Cho đa thức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của . Lời giải : Áp dụng công thức nội suy cho với ba số thực ta được : Do đó : Xét : Đẳng thức xảy ra khi Xét : Đẳng thức xảy ra khi Kết luận :
Hệ thức Jacobi Nếu là tâm tỉ cự của hệ điểm với các hệ số tương ứng thì với mọi điểm ta có hệ thức : Chứng minh : Hệ thức cần chứng minh tương đương với : Ta có : Mà vì là tâm tỉ cự của hệ điểm với các hệ số tương […]
Bài toán : Cho đa giác đều cạnh nội tiếp đường tròn . Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến các đỉnh của đa giác đó là một đại lượng không đổi. Lời giải : Bổ đề : Cho đa giác đều cạnh nội tiếp đường […]
Bài toán : Cho thỏa mãn với mọi . Chứng minh rằng Lời giải : Áp dụng công thức nội suy cho với bốn số : Đồng nhất hệ số : Từ đó chú đến bất đẳng thức và , ta có : Đây là điều phải chứng minh.
Bài toán : (Serbia-Montenegro 2005) Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa . Khi đó ta cần chứng minh : Áp dụng BĐT : Ta cần chứng minh : Thật vậy, cũng theo BĐT : Ta có đpcm. Đẳng […]
Bài toán : Cho tam giác , ba đường cao đồng quy tại . Gọi lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ xuống . Chứng minh rằng đi qua trung điểm của . Lời giải : Gọi là giao điểm của và Do các tứ giác và nội tiếp nên ta có . Nên […]
Bài toán : Cho là tâm tỉ cự của hệ điểm với các hệ số tương ứng và thì khi đó ta có : Lời giải : Sử dụng một bổ đề quen thuộc Ta có : Từ đây ta có đpcm Nhận xét : Từ bài toán trên và đẳng thức quen thuộc thì […]
Công thức tính khoảng cách từ một điểm bất kì đến tâm tỉ cự của một hệ điểm Cho là tâm tỉ cự của hệ điểm với các hệ số tương ứng thỏa mãn . Chứng minh rằng với mọi điểm bất kì, ta có : Lời giải : Bổ đề : Cho là tâm […]
Bài toán : Cho tam giác có là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi lần lượt là tiếp điểm của với . Đặt và gọi lần lượt là diện tích các tam giác . a) Chứng minh rằng b) Chứng minh rằng Lời giải : a) Với chú ý rằng lần lượt là đường kính […]