Khai triển Abel

CÔNG THỨC KHAI TRIỂN ABEL 

Cho $x_1,x_2,...,x_n$ và $y_1,y_2,...,y_n$ là các số thực tùy ý. Đặt $S_k=y_1+y_2+...+y_k\forall k\in {\mathbb{Z}}^{+},1\le k\le n$

Khi đó :

$$\boxed{x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n=\left(x_1-x_2\right)S_1+\left(x_2-x_3\right)S_2+...+\left(x_{n-1}-x_n\right)S_{n-1}+x_n{S}_n}$$

Hai đẳng thức thường dùng :

Trường hợp $n=3$ :

$$\boxed{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=(a_1-a_2)b_1+(a_2-a_3)(b_1+b_2)+a_3(b_1+b_2+b_3)}$$

Trường hợp $n=2$ :

$$\boxed{a_1{b}_1+a_2{b}_2+=(a_1-a_2)b_1+a_2(b_1+b_2)}$$

Hệ quả của khai triển Abel :

Cho hai dãy số thực $(x_1,x_2,...,x_n),(a_1,a_2,...,a_n)$. Khi đó ta có đẳng thức :

$$\boxed{a_1(x_1-x_2)+a_2(x_2-x_3)+...+a_{n-1}(a_{n-1}-a_n)+a_n{x}_n=a_1{x}_1+(a_2-a_1)x_2+...+(a_n-a_{n-1})x_n}$$

Chứng minh : Áp dụng công thức khai triển $Abel$ cho hai dãy $\left(x_1,x_2,...,x_n\right),(y_1=a_1,y_2=a_2-a_1,...,y_n=a_n-a_{n-1})$.

BẤT ĐẲNG THỨC ABEL 

Cho hai dãy số thực $(x_1,x_2,....,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)$ với $x_1\ge x_2\ge ...\ge x_n$. Nếu $c_k=y_1+y_2+...+y_k\forall k=\overline{1,n}$ và $M=\underset{k=1,2,...,n}{\max }{c}_k$, $m=\underset{k=1,2,...,n}{\min }{c}_k$ thì ta có :

$$\boxed{m{x}_1\le x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n\le M{x}_1}$$.

Chứng minh :

Theo công thức khai triển $Abel$ :

$x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n$$=(x_1-x_2)c_1+(x_2-x_3)c_2+...+(x_n-x_{n-1})c_{n-1}+x_n{c}_n$$\le (x_1-x_2)M+(x_2-x_3)M+...+(x_n-x_{n-1})M+x_{n}M$$=M{x}_1$

Tương tự : $x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n\ge m{x}_1$