Định lí Carnot

Định lí Carnot 

Cho tam giác $ABC$ và các điểm $M,N,P$. Các đường thẳng $a,b,c$ theo thứ tự qua $M,N,P$ và vuông góc với các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác. Chứng minh rằng $a,b,c$ đồng quy khi và chỉ khi $\left(M{B}^2-M{C}^2\right)+\left(N{C}^2-N{A}^2\right)+\left(P{A}^2-P{B}^2\right)=0$

Chứng minh :

Bổ đề 1 : Cho hai điểm $A,B$ phân biệt và một số thực $k$. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm $H$ thuộc đường thẳng $AB$ sao cho $H{A}^2-H{B}^2=k$.

Chứng minh bổ đề 1 :

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, ta có :

$H{A}^2-H{B}^2$$=k$$\iff \left(\overline{HA}+\overline{HB}\right)\left(\overline{HA}-\overline{HB}\right)$$=k$$\iff 2\overline{HI}.\overline{BA}$$=k$

Ta có $A,B,I$ đều là những điểm cố định, từ đẳng thức này ta suy ra sự tồn tại duy nhất của điểm $H$.

Bổ đề 2 : $CD\perp AB\iff C{A}^2-C{B}^2=D{A}^2-D{B}^2$

Chứng minh bổ đề 2 :

Gọi $H,K$ theo thự tự là hình chiếu của $C,D$ lên $AB$.

Theo định lí $Pythagoras$ :

$C{A}^2-C{B}^2$$=D{A}^2-D{B}^2$$\iff (A{H}^2+H{C}^2)-(C{H}^2+H{B}^2)$$=\left(A{K}^2+K{D}^2\right)-(K{B}^2+K{D}^2)$$\iff A{H}^2-B{H}^2$$=A{K}^2-B{K}^2$$\iff H$$\equiv K$$\iff CD\perp AB$

Quay trở lại việc chứng minh định lí :

Gọi $O$ là giao điểm của $a$ và $b$. Khi đó :

$a,b,c$ đồng quy

$\iff O\in c$$\iff PO$$\equiv c$$\iff PO\perp AB$$\iff P{A}^2-P{B}^2$$=O{A}^2-O{B}^2$$\iff (O{B}^2-O{A}^2)+(P{A}^2-P{B}^2)$$=0$$\iff (O{B}^2-O{C}^2)+(O{C}^2-O{A}^2)+(P{A}^2-P{B}^2)$$=0$$\iff (M{B}^2-M{C}^2)+(N{C}^2-N{A}^2)+(P{A}^2-P{B}^2)$$=0$

Như vậy định lí $Carnot$ được chứng minh.