[Bài toán] Các đường đồng quy

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ với $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Gọi $M$ là một điểm bất kì, trên các đường thẳng qua $M$ lần lượt vuông góc với $BC,CA,AB$ lấy các điểm $A_2,B_2,C_2$ tương ứng không thẳng hàng. Chứng minh rằng ba đường thẳng qua $B_1$ vuông góc với $A_2{B}_2$, qua $C_1$ vuông góc với $B_2{C}_2$, qua $A_2$ vuông góc với $A_2{B}_2$ đồng quy.

Lời giải :

Bổ đề : $CD\perp AB\iff C{A}^2-C{B}^2=D{A}^2-D{B}^2$

 

Trở lại bài toán :

Ta có $M{C}_2\perp AB$ và $AB\parallel A_1{B}_1$ (tính chất đường trung bình)

Do đó

$M{C}_2\perp A_1{B}_1$$\Rightarrow B_1{C}_2^2-B_1{M}^2$$=A_1{C}_2^2-A_1{M}^2$$\Rightarrow B_1{C}_2^2-A_1{C}_2^2$$=B_1{M}^2-A_1{M}^2(1)$

Tương tự, ta được :

$B_1{M}^2-B_1{A}_2^2$$=C_1{M}^2-C_1{A}_2^2$$\Rightarrow C_1{A}_2^2-B_1{A}_2^2$$=C_1{M}^2-B_1{M}^2(2)$

$C_1{M}^2-C_1{B}_2^2$$=A_1{M}^2-A_1{B}_2^2$$\Rightarrow A_1{B}_2^2-C_1{B}_2^2$$=A_1{M}^2-C_1{M}^2(3)$

Từ $(1)(2)(3)$ suy ra :

$\left(B_1{C}_2^2-B_1{A}_2^2\right)+\left(C_1{A}_2^2-B_1{A}_2^2\right)+\left(A_1{B}_2^2-C_1{B}_2^2\right)$$=\left(B_1{M}^2-A_1{M}^2\right)+\left(C_1{M}^2-B_1{M}^2\right)+\left(A_1{M}^2-C_1{M}^2\right)$$=0$

Theo định lí $Carnot$, ta có $M{A}_2,M{B}_2,M{C}_2$ đồng quy. Đây là điều phải chứng minh.