Phương pháp tọa độ trong chứng minh BĐT

Bài toán : Cho $x,y,z$ là các số thực. Chứng minh rằng :

$$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}\ge \sqrt{z^2+zx+x^2}$$

Lời giải :

Trong hệ tọa độ $Oxy$ ta chọn các điểm $A(x,0),B\left(\frac{-y}{2},\frac{y\sqrt{3}}{2}\right),C\left(\frac{-z}{2},\frac{-z\sqrt{3}}{2}\right)$

Ta có :

$AB$$=\sqrt{(x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2}$$=\sqrt{{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{y\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$$=\sqrt{\frac{4x^2+4xy+4y^2}{4}}$$=\sqrt{x^2+xy+y^2}$

$AC$$=\sqrt{(x_A-x_C{)}^2+(y_A-y_C{)}^2}$$=\sqrt{{\left(x+\frac{z}{2}\right)}^2+{\left(\frac{z\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$$=\sqrt{\frac{4x^2+4zx+4z^2}{4}}$$=\sqrt{x^2+zx+z^2}$

$BC$$=\sqrt{(x_B-x_C{)}^2+(y_B-y_C{)}^2}$$=\sqrt{{\left(\frac{-y}{2}+\frac{z}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y\sqrt{3}}{2}+\frac{z\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$$=\sqrt{\frac{4y^2+4yz+4z^2}{4}}$$=\sqrt{y^2+yz+z^2}$

Theo bất đẳng thức tam giác :

$$AB+BC\ge AC\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}\ge \sqrt{z^2+zx+x^2}$$

Đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $A,B,C$ thẳng hàng $\iff \overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{BC}$ $\iff \frac{x_B-x_A}{x_C-x_B}=\frac{y_B-y_A}{y_C-y_B}\iff \frac{y+2x}{y-z}=\frac{y}{y+z}\iff xy+yz+zx=0$