[Bài toán] Chùm điều hòa

Bài toán : Cho tam giác $ABC$, ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. Gọi $I,K$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $D,A$ xuống $EF$. Chứng minh rằng $KH$ đi qua trung điểm $M$ của $ID$.

Lời giải :

Gọi $N$ là giao điểm của $AD$ và $EF$

Do các tứ giác $FECB$ và $FHDB$ nội tiếp nên ta có $\widehat{EFC}=\widehat{EBC}=\widehat{DFC}$.

Nên $FH$ là phân giác trong của tam giác $FND$, mà $FH\perp AB$ nên $FA$ là phân giác ngoài của tam giác $FND$.

Từ đó $(AHND)=-1$ (hàng điều hòa tia phân giác)

$\Rightarrow K(AHND)=-1$. Lại có $KA\parallel ID$ (cùng vuông góc với $EF$).

Do đó theo định lí về chùm điều hòa ta có $KH$ đi qua trung điểm $M$ của $ID$.