Bài toán [Đa thức, Chia hết]

Bài toán : Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn tích $ab$ là một số chính phương. Chứng minh rằng đa thức $x^a+x^b+1$ không chia hết cho đa thức $x^2+x+1$ với mọi $x>1$.

Lời giải :

Ta xét đa thức $P=x^a+x^b+1$. Đặt $a=3k+r,b=3t+w(k,t\in \mathbb{N},r,w=\overline{0,2})$. Không mất tính tổng quát ta giả sử $w\le r$

Ta có $P=x^{3k+r}+x^{3t+w}+1=x^r(x^{3k}-1)+x^w(x^{3t}-1)+x^r+x^w+1$

Ta luôn có $x^3-1|x^{3k}-1,x^2+x+1|x^3-1\Rightarrow x^2+x+1|x^{3k}-1$. Tương tự thì $x^2+x+1|x^{3t}-1$.

Gỉa sử $x^2+x+1|P$ thì $x^2+x+1|x^r+x^w+1$. Đặt $A=x^r+x^w+1$

• Nếu $r=w=2$ thì $A=2x^2+1\equiv -2x-1(mod{x}^2+x+1)$. Để $x^2+x+1|A\Rightarrow x^2+x+1|2x+1$

Điều này là vô lí vì $2x+1<x^2+x+1$ với $x>1$.

• Nếu $r=2,w=1$ thì $A=x^2+x+1|x^2+x+1$
• Nếu $r=2,w=0$ thì $A=x^2+2\equiv 1-x(mod{x}^2+x+1)$. Để $x^2+x+1|A$ thì $x^2+x+1|1-x$.

Điều này là vô lí vì $1-x<x^2+x+1$.

• Nếu $r=w=1$ thì $A=2x+1<x^2+x+1\Rightarrow x^2+x+1\nmid A\Rightarrow x^2+x+1\nmid P$
• Nếu $r=1,w=0$ thì $A=x+2<x^2+x+1\Rightarrow x^2+x+1\nmid A\Rightarrow x^2+x+1\nmid P$
• Nếu $r=w=0$ thì $A=3<x^2+x+1$ với $x>1$. Do đó $x^2+x+1\nmid A\Rightarrow x^2+x+1\nmid P$

Từ đó suy ra $a\equiv 2(mod3),b\equiv 1(mod3)\Rightarrow ab\equiv 2(mod3)$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $ab$ là số chính phương.

Kết luận : Gỉa thiết phản chứng sai, ta có điều phải chứng minh.