Bài toán : Cho $O$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ và $\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}\neq 0$ thì khi đó ta có : \[\alpha _{1}OA_{1}^{2}+\alpha _{2}OA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}OA_{n}^{2}\] \[=\dfrac{1}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}}(\alpha _{1}\alpha _{2}A_{1}A_{2}^{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}A_{1}A_{3}^{2}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}A_{1}A_{n}^{2}\] \[+\alpha _{2}\alpha _{3}A_{2}A_{3}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{4}A_{2}a_{4}^{2}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}A_{2}A_{n}^{2}+....+\alpha _{n-1}\alpha n A_{n-1}A_{n}^{2})\] Lời giải : Sử dụng một bổ đề quen thuộc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left ( AB^{2}+AC^{2}-BC^{2} \right )$ Ta có : \[\left ( \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}OA_{i} \right )^{2}=0\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}OA_{i}^{2}+2\alpha _{1}\alpha _{2}\overrightarrow{OA_{1}}.\overrightarrow{OA_{2}}+2\alpha _{1}\alpha _{3}\overrightarrow{OA_{1}}.\overrightarrow{OA_{3}}+...+2\alpha _{1}\alpha _{n}\overrightarrow{OA_{1}}.\overrightarrow{OA_{n}}+2\alpha _{2}\alpha _{3}\overrightarrow{OA_{2}}.\overrightarrow{OA_{3}}+2\alpha _{2}\alpha _{4}\overrightarrow{OA_{2}}.\overrightarrow{OA_{4}}+...+2\alpha _{2}\alpha _{n} \overrightarrow{OA_{2}}.\overrightarrow{OA_{n}}+....+2\alpha _{n-1}\alpha _{n}\overrightarrow{OA_{n-1}}.\overrightarrow{OA_{n}}=0\] \[\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}OA_{i}^{2}+\alpha _{1}\alpha _{2}\left ( OA_{1}^{2}+OA_{2}^{2}-A_{1}A_{2}^{2} \right )+\alpha _{1}\alpha _{3}\left ( OA_{1}^{2}+OA_{3}^{2}-A_{1}A_{3}^{2} \right )+...+\alpha _{1}\alpha _{n}\left ( OA_{1}^{2}+OA_{n}^{2}-A_{1}A_{n}^{2} \right )+\alpha _{2}\alpha_{3}\left ( OA_{2}^{2}+OA_{3}^{2}-A_{2}A_{3}^{2} \right )+\alpha _{2}\alpha _{4}\left ( OA_{2}^{2} +OA_{4}^{2}-A_{2}A_{4}^{2}\right )+...+\alpha _{2}\alpha _{n}\left ( OA_{2}^{2}+OA_{n}^{2}-A_{2}A_{n}^{2} \right )+....+\alpha _{n-1}\alpha _{n}\left ( OA_{n-1}^{2}+OA_{n}^{2}-A_{n-1}A_{n}^{2} \right )\] \[\Leftrightarrow \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i} \right )\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}OA_{i}^{2} \right )=\alpha _{1}\alpha _{2}A_{1}A_{2}^{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}A_{1}A_{3}^{2}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}A_{1}A_{n}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}A_{2}A_{3}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{4}A_{2}a_{4}^{2}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}A_{2}A_{n}^{2}+....+\alpha _{n-1}\alpha _n A_{n-1}A_{n}^{2}\] Từ đây ta có đpcm Nhận xét : Từ bài toán trên và đẳng thức quen thuộc $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ thì ta có kết quả sau : $aIA^{2}+bIB^{2}+cIC^{2}=abc$ hay $\dfrac{IA^{2}}{bc}+\dfrac{IB^{2}}{ca}+\dfrac{IC^{2}}{ab}=1$

[Bài toán] Hệ thức hình học liên quan đến tâm tỉ cự

Bài toán : Cho $O$ là tâm tỉ cự của hệ điểm ${A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}$ với các hệ số tương ứng ${α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}}$ và $α_{1} + α_{2} + ... + α_{n} \neq = 0$ thì khi đó ta có :

$α_{1} O A_{1}^{2} + α_{2} O A_{2}^{2} + ... + α_{n} O A_{n}^{2}$ $= \frac{1}{α _{1} + α _{2} + ... + α _{n}} (α_{1} α_{2} A_{1} A_{2}^{2} + α_{1} α_{3} A_{1} A_{3}^{2} + ... + α_{1} α_{n} A_{1} A_{n}^{2}$ $+ α_{2} α_{3} A_{2} A_{3}^{2} + α_{2} α_{4} A_{2} a_{4}^{2} + ... + α_{2} α_{n} A_{2} A_{n}^{2} + .... + α_{n - 1} α n A_{n - 1} A_{n}^{2})$

Lời giải :

Sử dụng một bổ đề quen thuộc $A B . A C = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$

Ta có :

$(i = 1 \sum n α_{i} O A_{i})^{2} = 0 \Leftrightarrow i = 1 \sum n O A_{i}^{2} + 2 α_{1} α_{2} O A_{1} . O A_{2} + 2 α_{1} α_{3} O A_{1} . O A_{3} + ... + 2 α_{1} α_{n} O A_{1} . O A_{n} + 2 α_{2} α_{3} O A_{2} . O A_{3} + 2 α_{2} α_{4} O A_{2} . O A_{4} + ... + 2 α_{2} α_{n} O A_{2} . O A_{n} + .... + 2 α_{n - 1} α_{n} O A_{n - 1} . O A_{n} = 0$

$\Leftrightarrow i = 1 \sum n α_{i} O A_{i}^{2} + α_{1} α_{2} (O A_{1}^{2} + O A_{2}^{2} - A_{1} A_{2}^{2}) + α_{1} α_{3} (O A_{1}^{2} + O A_{3}^{2} - A_{1} A_{3}^{2}) + ... + α_{1} α_{n} (O A_{1}^{2} + O A_{n}^{2} - A_{1} A_{n}^{2}) + α_{2} α_{3} (O A_{2}^{2} + O A_{3}^{2} - A_{2} A_{3}^{2}) + α_{2} α_{4} (O A_{2}^{2} + O A_{4}^{2} - A_{2} A_{4}^{2}) + ... + α_{2} α_{n} (O A_{2}^{2} + O A_{n}^{2} - A_{2} A_{n}^{2}) + .... + α_{n - 1} α_{n} (O A_{n - 1}^{2} + O A_{n}^{2} - A_{n - 1} A_{n}^{2})$

$\Leftrightarrow (i = 1 \sum n α_{i}) (i = 1 \sum n α_{i} O A_{i}^{2}) = α_{1} α_{2} A_{1} A_{2}^{2} + α_{1} α_{3} A_{1} A_{3}^{2} + ... + α_{1} α_{n} A_{1} A_{n}^{2} + α_{2} α_{3} A_{2} A_{3}^{2} + α_{2} α_{4} A_{2} a_{4}^{2} + ... + α_{2} α_{n} A_{2} A_{n}^{2} + .... + α_{n - 1} α_{n} A_{n - 1} A_{n}^{2}$

Từ đây ta có đpcm

Nhận xét : Từ bài toán trên và đẳng thức quen thuộc

$a I A + b I B + c I C = 0$ thì ta có kết quả sau : $a I A^{2} + b I B^{2} + c I C^{2} = ab c$ hay $\frac{I A ^{2}}{b c} + \frac{I B ^{2}}{c a} + \frac{I C ^{2}}{ab} = 1$

[Bài toán] Hệ thức hình học liên quan đến tâm tỉ cự

Đề bài

Mô tả