Bài toán : Cho đa giác đều $n$ cạnh nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm bất kì trên $(O)$ đến các đỉnh của đa giác đó là một đại lượng không đổi. Lời giải : Bổ đề : Cho đa giác đều $n$ cạnh $A_{1}A_{2}...A_{n}$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Khi đó : $\sum_{i=0}^{n}\overrightarrow{OA_{i}}$ Chứng minh bổ đề : Quay đa giác đều một góc $\dfrac{2\pi }{n}$ theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Xét $\overrightarrow{v}=\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{OA_{i}}$. Ta có : \[\overrightarrow{OA_{1}}\rightarrow \overrightarrow{OA_{n}}\;(1),\overrightarrow{OA_{2}}\rightarrow \overrightarrow{OA_{1}}\;(2),...,\overrightarrow{OA_{n}}\rightarrow \overrightarrow{OA_{n-1}}\;(n)\] Từ $(1)(2),...,(n)$ ta có : \[\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+...+\overrightarrow{OA_{n}}\rightarrow \overrightarrow{OA_{n}}+\overrightarrow{OA_{1}}+...+\overrightarrow{OA_{n-1}}\Rightarrow \overrightarrow{v}\rightarrow \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{OA_{i}}=\overrightarrow{0}\] Quay trở lại bài toán. Theo bổ đề ta có $O$ là trọng tâm của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ nên theo hệ thức $Jacobi$ ta có : \[\sum_{i=1}^{n}MA_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}OA_{i}^{2}+\left ( \underset{n}{\underbrace{1+1+...+1}} \right )MO^{2}=\sum_{i=1}^{n}OA_{i}^{2}+n.MO^{2}=2.n.R^{2}=const\] Đây là điều phải chứng minh.

[Bài toán] Chứng minh hệ thức hình học

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Cho đa giác đều $n$ cạnh nội tiếp đường tròn $(O; R)$ . Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm bất kì trên $(O)$ đến các đỉnh của đa giác đó là một đại lượng không đổi.

Lời giải :

Bổ đề : Cho đa giác đều $n$ cạnh $A_{1} A_{2} ... A_{n}$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Khi đó : $\sum_{i = 0}^{n} O A_{i}$

Chứng minh bổ đề : Quay đa giác đều một góc $\frac{2 π}{n}$ theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Xét $v = \sum_{i = 1}^{n} O A_{i}$ . Ta có :

$O A_{1} \to O A_{n} (1), O A_{2} \to O A_{1} (2), ..., O A_{n} \to O A_{n - 1} (n)$

Từ $(1) (2), ..., (n)$ ta có :

$O A_{1} + O A_{2} + ... + O A_{n} \to O A_{n} + O A_{1} + ... + O A_{n - 1} \Rightarrow v \to v \Rightarrow v = 0 \Rightarrow i = 1 \sum n O A_{i} = 0$

Quay trở lại bài toán.

Theo bổ đề ta có $O$ là trọng tâm của hệ điểm ${A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}$ nên theo hệ thức $J a co bi$ ta có :

$i = 1 \sum n M A_{i}^{2} = i = 1 \sum n O A_{i}^{2} + n 1 + 1 + ... + 1 M O^{2} = i = 1 \sum n O A_{i}^{2} + n . M O^{2} = 2. n . R^{2} = co n s t$

Đây là điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán : Cho đa giác đều cạnh nội tiếp đường tròn . Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến các đỉnh của đa giác đó là một đại lượng không đổi. Lời giải : Bổ đề : Cho đa giác đều cạnh nội tiếp đường […]

Hình học phẳngHệ thức lượng trong tam giác

Nguồn: julielltv