[Bài toán] Xác định đa thức

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{ccc}P(x)=\frac{1}{2}\left[P(x+1)+P(x-1)\right]\forall x& & \\ P(0)=0& & \end{array}$$

Lời giải :

Xét $degP(x)=0$ thì $P(x)\equiv 0$, thỏa mãn.

Xét $degP(x)\ge 1$ :

Theo đề bài, ta có : $P(x)-P(x-1)=P(x+1)-P(x)$

Đặt $Q(x)=P(x+1)-P(x)$ ta được :

$$Q(x-1)=Q(x)\forall x\Rightarrow Q(x)\equiv C$$

Mặt khác đa thức $Q(x)=P(x+1)-P(x)$ là một đa thức sai phân nên $degQ(x)=degP(x)-1$ mà $degQ(x)=0$ nên $degP(x)=1$.

Mặt khác ta lại có $P(0)=0$. Do đó $P(x)=ax$ với $a\ne 0$.

Thử lại, ta thấy thỏa mãn.

Kết luận : Đa thức cần tìm là $P(x)\equiv 0$ hoặc $P(x)=ax$ $(a\ne 0)$