[Bài toán] Tìm cực trị của đa thức, công thức nội suy Lagrange

Bài toán : Cho đa thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ thỏa mãn điều kiện $\left|f(-1)\right|\le 1,\left|f(0)\right|\le 1,\left|f(1)\right|\le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $\left|f(x)\right|\forall x\in \left[-1;1\right]$.

Lời giải :

Áp dụng công thức nội suy $Lagrange$ cho $f(x)$ với ba số thực $-1,0,1$ ta được :

$f(x)$$=f(-1).\frac{(x-0)(x-1)}{(-1-0)(-1-1)}+f(0).\frac{(x+1)(x-1)}{(0+1)(0-1)}+f(1).\frac{(x-0)(x+1)}{(1-0)(1+1)}$$=f(-1).\frac{x(x-1)}{2}+f(0).(1-x^2)+f(1).\frac{x(x+1)}{2}$

Do đó :

$\left|f(x)\right|$$\le \left|f(-1)\right|.\left|\frac{x(x-1)}{2}\right|+\left|f(0)\right|.\left|x^2-1\right|+\left|f(1)\right|.\left|\frac{x(x+1)}{2}\right|$$\le \left|\frac{x(x-1)}{2}\right|+\left|x^2-1\right|+\left|\frac{x(x+1)}{2}\right|$$=g(x)$

Xét $-1\le x\le 0$ :

$f(x)$$\le g(x)$$=\frac{x(x-1)}{2}+1-x^2-\frac{x(x+1)}{2}$$=-{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{4}$$\le \frac{5}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=-\frac{1}{2}\in \left[-1;1\right]$

Xét $0\le x\le 1$ :

$f(x)$$\le g(x)$$=\frac{x(1-x)}{2}+1-x^2+\frac{x(x+1)}{2}$$=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{4}$$\le \frac{5}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{1}{2}\in \left[-1;1\right]$

Kết luận : $Maxf(x)=\frac{5}{4}\iff x=\pm \frac{1}{2}$