1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho 3 số thực và thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải : Vì vai trò tương đương nhau nên đẳng thức xảy ra khi và . Áp dụng BĐT : Cộng các BĐT trên vế theo vế : Ta sẽ chọn sao cho Như […]
Bài toán : Cho số nguyên tố lẻ và các số tự nhiên lẻ . Chứng minh rằng nếu chia hết cho và chia hết cho thì chia hết cho và chia hết cho . Lời giải : Nếu , thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh. Xét , : Vì Do đó […]
Bài toán : Tìm số nguyên tố thoả mãn là số chính phương. Lời giải : Đặt Biến đổi thành : Trường hợp 1 : Nếu . Đặt Khi đó thay vào : Mặt khác có Coi đây là phương trình bậc hai ẩn , điều kiện cần để tồn tại nghiệm nguyên của phương trình là […]
Bài toán (Đề thi HSG toán 10 tỉnh Thái Nguyên 2011-2012) : Cho các số dương . Chứng minh rằng . Lời giải : Áp dụng BĐT : Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế, ta cần chứng minh : Điều này hiển nhiên đúng theo . Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra […]
Định lí Blanchet Cho tam giác , đường cao , là điểm bất kì thuộc đoạn . Các tia lần lượt cắt các cạnh tại . Chứng minh rằng là phân giác của góc . Chứng minh : Gọi là giao điểm của đường thẳng với đường thẳng , là giao điểm của với . […]
Bài toán : Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm trên tập . Lời giải : Bổ đề : Phương trình có nghiệm là hoặc với Chứng minh : Phương trình tương đương : Nếu Nếu thì Quay trở lại bài toán : Ta chọn Trong đó , cùng dấu, . Khi đó theo bổ đề, […]
Bài toán : Cho các số nguyên tố . Đặt . Biết rằng và hiệu là bình phương của một số nguyên tố. Tìm Lời giải : Đặt Như vậy ta sẽ giải hệ phương trình sau trên tập nghiệm nguyên tố : Từ : Đây là phương trình , hiển nhiên do đó nghiệm […]
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2014) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình có nghiệm nguyên dương. Lời giải : Gọi là bộ nghiệm nguyên dương của phương trình thỏa mãn nhỏ nhất Không mất tính tổng quát, ta giả sử Xét phương trình bậc […]
Bài toán (Ireland 1996) : Cho số nguyên tố và là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu thì . Lời giải : Gỉa sử : Nếu thì Nếu lẻ, ta có Nếu thì , xét Theo bổ đề : Rõ ràng mâu thuẫn nhau. Do đó phải có . *Lưu ý : Cách khác […]
Bài toán : Cho tam giác có lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc . Qua lần lượt kẻ các đường thẳng song song với với thuộc đường thẳng và thuộc đường thẳng . Chứng minh rằng : Lời giải : Gọi là giao điểm của với Ta sẽ chứng […]
Bài toán : Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : Với là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Lời giải : Không mất tính tổng quát, ta giả sử thì Theo đề bài, ta cần chứng minh : Nhưng do nên ta chỉ cần chứng minh […]
Bài toán : Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố thỏa mãn tính chất : Không tồn tại tập hợp gồm số nguyên dương liên tiếp mà có thể phân chia thành hai tập con rời nhau sao cho tích các phần tử thuộc tập này bằng tích các phần tử thuộc tập […]
Bài toán : Cho các số dương có tổng bằng . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải : Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi Áp dụng BĐT : Cộng vế các BĐT trên, ta được : Như vậy ta sẽ chọn thỏa mãn hệ : Hệ này cho ta nghiệm […]
Bài toán : Cho đa thức . Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một đa thức bậc ( là số nguyên dương) sao cho . Lời giải : Nếu ta chứng minh được trường hợp không tồn tại hai đa thức thỏa đề thì hiển nhiên sẽ không tồn tại nhiều hơn hai đa thức thỏa […]
Bài toán : (Russia MO 1997) Cho là hai số nguyên dương sao cho chia hết cho . Chứng minh rằng chia hết cho . Lời giải : Từ giả thiết ta có . Đặt . Ta có : Mà Do đó Suy ra . Đây là điều phải chứng minh.
Bài toán : (Baltic Mathematics Competition 2002) Cho sao cho ước số nguyên tố của cũng là ước số của . Chứng minh rằng . Lời giải : Ta có Gọi Gọi , dễ thấy lẻ. Ta có Gọi , lẻ. Ta có ( lẻ) +) Nếu ta có Trong đó là số tự nhiên […]
BẤT ĐẲNG THỨC WEITZENBOCK, BẤT ĐẲNG THỨC FINSLER-HADWINGER VÀ NHỮNG MỞ RỘNG Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác có nửa chu vi , diện tích , là bán kính đường tròn ngoại tiếp và là bán kính đường tròn nội tiếp. 1) Bất đẳng thức Weitzenbock : Chứng minh : […]
Bài toán : Cho đa thức . Đặt . Gọi là một nghiệm của đa thức. Chứng minh rằng Lời giải : Vì là một nghiệm của nên : Nếu thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Nếu , ta có : Đây là điều phải chứng minh.
Hệ thức Euler : Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì ta có hệ thức : Lời giải : Ta có : Đây là điều phải chứng minh.
Hệ thức Leibniz : Cho tam giác và trọng tâm . Chứng minh rằng : Lời giải : Chứng minh 1: Áp dụng hệ thức tính độ dài trung tuyến : Ta có Lại chú ý rằng Ta suy ra : Chứng minh 2 : Ta có : Đây là điều phải chứng minh