Bài toán [Sự chia hết]

Bài toán : Cho số nguyên tố $p$ lẻ và các số tự nhiên lẻ $a,b$. Chứng minh rằng nếu $a+b$ chia hết cho $p$ và $a-b$ chia hết cho $p-1$ thì $a^b+b^a$ chia hết cho $2p$ và $a^a+b^b$ chia hết cho $2p$.

Lời giải :

Nếu $p|a$, $p|b$ thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh.

Xét $p\nmid a$, $p\nmid b$ :

Vì $p-1|a-b\Rightarrow a-b=(p-1)k(k\in \mathbb{Z})$

Do đó theo định lí $Fermat$ nhỏ : $a^a-a^b=a^b(a^{a-b}-1)=a^b\left[(a^{p-1}{)}^k-1\right]\equiv 0(modp)(1)$

Mặt khác vì $a$ lẻ nên $a+b|a^a+b^a\Rightarrow p|a^a+b^a(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $p|(a^a+b^a)-(a^a-a^b)\Rightarrow p|a^b+b^a$

Mà vì $a,b$ lẻ và $gcd(p,2)=1$ nên $2p|a^b+b^a$

Chú ý rằng $b$ lẻ nên ta có $a+b|a^b+b^b\Rightarrow p|a^b+b^b(3)$

Từ $(2)(3)$ ta có   $p|a^a+b^a+a^b+b^b$ mà $p|a^b+b^a\Rightarrow p|a^a+b^b$

Mà vì $a,b$ lẻ và $gcd(p,2)=1$ nên $2p|a^a+b^b$

Kết luận : $a^b+b^a$ chia hết cho $2p$ và $a^a+b^b$ chia hết cho $2p$