Bài toán [Cực trị, Điểm rơi giả định, Cân bằng hệ số]

Bài toán : Cho các số dương $x,y,z$ có tổng bằng $3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=x^4+2y^4+3z^4$

Lời giải :

Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi $x=a,y=b,z=c$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$$b^3{c}^3(x^4+a^4+a^4+a^4)\ge 4x{a}^3{b}^3{c}^3$$

$$c^3{a}^3(y^4+b^4+b^4+b^4)\ge 4y{a}^3{b}^3{c}^3$$

$$a^3{b}^3(z^4+c^4+c^4+c^4)\ge 4z{a}^3{b}^3{c}^3$$

Cộng vế các BĐT trên, ta được :

$b^3{c}^3{x}^4+c^3{a}^3{y}^4+a^3{b}^3{z}^4+3a^3{b}^3{c}^3(a+b+c)$$\ge 4(x+y+z)a^3{b}^3{c}^3$$=12a^3{b}^3{c}^3$$\iff b^3{c}^3{x}^4+c^3{a}^3{y}^4+a^3{b}^3{z}^4$$\ge 3a^3{b}^3{c}^3$

Như vậy ta sẽ chọn $a,b,c$ thỏa mãn hệ :

$$\{\begin{array}{ccc}a+b+c=3& & \\ \frac{b^3{c}^3}{1}=\frac{c^3{a}^3}{2}=\frac{a^3{b}^3}{3}& & \end{array}$$

Hệ này cho ta nghiệm $a=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}},b=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}},c=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}}$

Từ đó :

$\frac{a^6}{6}{x}^4+\frac{a^6}{3}{y}^4+\frac{a^6}{2}{z}^4$$\ge 3.\frac{a^9}{6}$$=\frac{a^9}{2}$$\Rightarrow x^4+2y^4+3z^4$$\ge \frac{a^9}{2}:\frac{a^6}{6}$$=3a^3$$=\frac{486}{(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}{)}^3}$

Kết luận :

$MinF$$=\frac{486}{(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}{)}^3}$$\iff a$$=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}},b$$=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}},c$$=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}}$