Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên, Vieta Jumping]

Bài toán  (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2014)

Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho phương trình $x^2+y^2+x+y=kxy$ có nghiệm nguyên dương.

Lời giải :

Gọi $\left(x_0,y_0\right)$ là bộ nghiệm nguyên dương của phương trình thỏa mãn $x_0+y_0$ nhỏ nhất

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x_0\ge y_0\ge 1$

Xét phương trình bậc hai ẩn $x$ :

$$x^2+y_0^2+x+y_0=kx{y}_0\iff x^2+x(1-k{y}_0)+y_0^2+y_0=0$$

Phương trình bậc hai này hiển nhiên có một nghiệm $x_0$, gọi nghiệm còn lại là $x_1$

Theo định lí $Viete$ :

$$\{\begin{array}{ccc}{x}_0+x_1=k{y}_0-1& (1)& \\ x_0{x}_1=y_0^2+y_0& (2)& \end{array}$$

Từ $(1)$ ta có $x_1$ nguyên, từ $(2)$ ta có $x_1$ dương. Như vậy $(x_1,y_0)$ cũng là một nghiệm thỏa mãn phương trình

Mặt khác, do tính nhỏ  nhất của tổng $x_0+y_0$ mà ta có $x_1\ge x_0$.

Do đó từ $(1)$, ta có : $k{y}_0-1\ge 2x_0\Rightarrow \frac{2x_0}{y_0}+\frac{1}{y_0}\le k$

Từ phương trình :

$k$$=\frac{x_0}{y_0}+\frac{y_0}{x_0}+\frac{1}{x_0}+\frac{1}{y_0}$$=\left(\frac{x_0}{y_0}+\frac{1}{2y_0}\right)+\frac{y_0}{x_0}+\frac{1}{x_0}+\frac{1}{2y_0}$$\le \frac{k}{2}+1+1+\frac{1}{2}$$\Rightarrow k$$\le 5$$\Rightarrow k\in \left\{1;2;3;4;5\right\}$

• Với $k=1$, ta có : $x^2+y^2+x+y=xy$, phương trình này vô nghiệm nguyên dương vì $x^2+y^2+x+y\ge 2xy+x+y>xy$
• Với $k=2$ , tương tự như trên, ta cũng lập luận được phương trình này vô nghiệm nguyên dương
• Với $k=3$, phương trình có nghiệm nguyên dương $(2;2)$
• Với $k=4$ thì phương trình có nghiệm $(1;1)$.
• Với $k=5$, dấu bằng phải đồng thời xảy ra ở các điểm :

$$\frac{x}{y}+\frac{1}{2y}=\frac{k}{2}=\frac{5}{2},\frac{1}{x}=1,\frac{1}{2y}=1,\frac{y}{x}=1$$

Dễ thấy không tồn tại các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn tất cả các điều trên. Trường hợp này bị loại.

Kết luận : $\boxed{k\in \left\{3;4\right\}}$