1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Tiền Giang tỉnh Tiền Giang) Giải phương trình nghiệm nguyên dương . Lời giải : Bổ đề : Với và là các số nguyên dương thì ta có Chứng minh bổ đề : Với ta có (luôn đúng) Gỉa sử mệnh đề đúng, xét […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 2010 THPT Chuyên Vị Thanh tỉnh Hậu Giang) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phần nguyên của biểu thức là một số nguyên tố Lời giải : Ta có Trường hợp 1 : Xét () : Do đó Để thì Trường hợp 2 : […]
Bài toán : Cho các số nguyên thỏa mãn hệ thức với là một số nguyên. Chứng minh rằng . Lời giải : Đặt . Đặt Khi đó ta vẫn có Để chứng minh ta quy về chứng minh hay . Nhận thấy rằng nếu bộ thỏa mãn thì hiển nhiên . Do đó ta xét . Gọi là […]
Bài 1 Tìm các số nguyên dương sao cho Bài 2 Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ sao cho là một số chính phương Bài 3 Giải phương trình nghiệm nguyên dương Bài 4 Giải phương trình nghiệm nguyên dương Bài 5 Giải phương trình nghiệm tự nhiên Bài 6 Giải phương trình nghiệm […]
Bài toán (Hungary 2001) : Tìm tất cả các số nguyên sao cho Lời giải : Nhận xét rằng Khi đó và Suy ra và Mà nên ta phải có . Đặt Thay vào phương trình ban đầu : Từ đó lại suy ra . Đặt Thay vào : Tiếp tục lập luận như vậy, ta kết […]
Bài toán : Giải hệ phương trình Lời giải : Cách 1 : Áp dụng BĐT ta có : Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại : Đẳng thức phải xảy ra, khi đó Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là Cách 2 : Áp dụng BĐT : Lại áp dụng […]
Bài toán : Chứng minh số có thể phân tích thành tích của hai số nguyên mà mỗi số không nhỏ hơn . Lời giải : Đặt và Khi đó ta có và Do đó ta có Lại có Và Nên từ ta có đpcm
Bài 1 Chứng minh rằng số có thể phân tích được thành tích của hai số nguyên mà mỗi số không nhỏ hơn . Bài 2 Cho các số nguyên thỏa mãn với là số nguyên. Chứng minh rằng Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phần nguyên của biểu thức là […]
Định lí Desargues Cho hai tam giác và . Gọi lần lượt là giao điểm của và , và , và . Chứng minh rằng nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm thì ba điểm thẳng hàng. Chứng minh Gọi là điểm đồng quy của ba đường thẳng Xét tam giác với ba điểm […]
Bài toán : Cho tam giác , các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho đồng quy. Gọi lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác với các cạnh . Chứng minh rằng đồng quy. Lời giải : Vì đồng quy nên theo định lí ta có : Ta có là […]
Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên Lời giải : Nhận xét rằng Do đó ta có Mặt khác ta có Mà Kết luận : phương trình không có nghiệm nguyên
Bài toán : Giải hệ phương trình nghiệm nguyên Lời giải : Dễ thấy hệ có nghiệm tầm thường . Từ , suy ra . Thay vào : Nếu thì (vô lí). Do đó phải có Thay vào : Mặt khác dễ thấy Do đó hoặc Kết luận :
Bài toán : Chứng minh rằng nếu là một số nguyên tố thì đa thức bất khả quy trên . Lời giải : Đặt , ta có : Ta có : Theo tiêu chuẩn đa thức bất khả quy trên . Đây là điều phải chứng minh.
Bài toán : Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương Lời giải : Gọi là một nghiệm thỏa mãn phương trình với là số nhỏ nhất Không mất tính tổng quát, ta giả sử Khi đó ta có : Mặt khác xét phương trình bậc hai ẩn : Hiển nhiên phương trình […]
Bài toán : Cho phương trình với là số tự nhiên khác không. Tìm để phương trình có nghiệm nguyên dương Lời giải : Gọi bộ số thỏa đề sao cho nhỏ nhất. Xét phương trình bậc hai ẩn : Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là , gọi nghiệm còn lại là . […]
Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên dương Lời giải : Xét thì , do đó Xét Khi ấy mà lẻ nên chẵn Nhưng khi chẵn thì (vô lí) Vậy :
Bài toán (Czech Slovakia 1996) : Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn phương trình , trong đó là một số nguyên tố Lời giải : Trường hợp 1 : Nếu chẵn thì ta được phương trình . Từ phương trình này suy ra lẻ, khi đó . Ta được Trường hợp 2 : Nếu lẻ. […]
Bài toán : Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của Lời giải : Dự đoán dấu bằng xảy ra khi nên ta chứng minh : Áp dụng BĐT : Do vậy cần chứng minh : Điều này luôn đúng vì theo : Kết luận :
Bài toán : Cho số nguyên tố và số tự nhiên . Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương. Lời giải : Phương trình đã cho viết thành : Mặt khác có , do đó Nếu . Đặt Thay vào phương trình : + Xét thì (vô lí) + Xét thì . Từ phương trình […]
Bài toán : Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên dương Lời giải : Phương trình đã cho viết thành : Chọn , ta sẽ chứng minh rằng Thật vậy, giả sử đúng, xét với : Theo giả thiết quy nạp thì mà dễ thấy Suy ra Như vậy đúng. Khi đó phương […]