Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên, LTE]

Bài toán (Czech Slovakia 1996)  : Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,p$ thỏa mãn phương trình $p^x-y^p=1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố

Lời giải :

$▼$ Trường hợp 1 : Nếu $p$ chẵn thì ta được phương trình $2^x-y^2=1$. Từ phương trình này suy ra $y$ lẻ, khi đó $2^x=y^2+1\equiv 2(mod4)\Rightarrow x=1$. Ta được $(x;y;p)=(1;1;2)$

$▼$ Trường hợp 2 : Nếu $p$ lẻ.

Viết lại phương trình $y^p+1=p^x$. Theo định lí $Fermat$ nhỏ, ta có $p^x=y^p+1\equiv y+1(modp)\Rightarrow p|y+1$. Khi đó hiển nhiên $y$ và $1$ đều không chia hết cho $p$.

Theo bổ đề $LTE$, ta có :

$$v_p(y^p+1)=v_p(y+1)+v_p(p)=v_p(y+1)+1$$

Suy ra $x-1=v_p(y+1)$

Do đó ta có :

$$(y+1)(y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^2-y+1)=p^x$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}y+1=p^{x-1}& & \\ y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^2-y+1=p& & \end{array}$$

+) Xét $y=1$ thì $x-1=v_p(2)\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}p=2& & \\ x=2& & \end{array}$ (loại vì xét $p$ lẻ)

+) Xét $y=2$ thì $x-1=v_p(3)\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}p=3& & \\ x=2& & \end{array}$ (thỏa mãn)

+) Xét $y>2$ thì :

$y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^2-y+1$$=y^{p-2}(y-1)+y^{p-4}(y-1)+...+y(y-1)+1$$>y^{p-2}+y^{p-4}+...+y+1$$>y+1$$\Rightarrow p$$>p^{x-1}$.

Suy ra $x=1$, khi đó $v_p(y+1)=0$ vô lí vì $p|y+1$

Kết luận : $\boxed{(x;y;p)=(1;1;2);(2;2;3)}$