Bài toán [Hệ phương trình]

Bài toán : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{ccc}{x}^5+y^5+z^5=3& & \\ x^6+y^6+z^6=3& & \end{array}$

Lời giải :

Cách 1 : Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có :

$$5x^6+1\ge 6.\sqrt[6]{(x^6{)}^5}=6\left|x^5\right|\ge 6x^5$$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại :

$$5(x^6+y^6+z^6)+3\ge 6(x^5+y^5+z^5)=18\Rightarrow x^6+y^6+z^6\ge 3$$

Đẳng thức phải xảy ra, khi đó $x=y=z=1$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\boxed{(x;y;z)=(1;1;1)}$

Cách 2 :

Áp dụng BĐT $Cauchy-Shwarz$ :

$(x^6+y^6+z^6)(x^4+y^4+z^4)$$\ge (x^5+y^5+z^5{)}^2$$\Rightarrow x^4+y^4+z^4$$\ge 3(1)$

Lại áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$3(x^2+y^2+z^2)$$=(x^6+y^6+z^6)(x^2+y^2+z^2)$$\ge (x^4+y^4+z^4{)}^2$$\Rightarrow (x^4+y^4+z^4{)}^2$$\le 3\sqrt{3(x^4+y^4+z^4)}$$\Rightarrow x^4+y^4+z^4$$\le 3(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có $x^4+y^4+z^4=3$.

Lúc này đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\boxed{(x;y;z)=(1;1;1)}$