Bài toán [Cực trị, BĐT AM-GM, BĐT C-S]

Bài toán : Cho ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của

$$P=\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}$$

Lời giải :

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ nên ta chứng minh :

$\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}$$\le \frac{1}{2}$$\iff \frac{a+b}{a+b+4}+\frac{b+c}{b+c+4}+\frac{c+a}{c+a+4}$$\ge 1$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$$VT\ge \frac{{\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)}^2}{2(a+b+c)+12}$$

Do vậy cần chứng minh :

${\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)}^2$$\ge 2(a+b+c)+12$$\iff \sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(b+c)(c+a)}+\sqrt{(c+a)(a+b)}$$\ge 6$

Điều này luôn đúng vì theo $AM-GM$ :

$\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(b+c)(c+a)}+\sqrt{(c+a)(a+b)}$$\ge \sqrt{4\sqrt{a{b}^{2}c}}+\sqrt{4\sqrt{b{c}^{2}a}}+\sqrt{4\sqrt{c{a}^{2}b}}$$=2\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{c}\right)$$\ge \mathrm{2.3.}\sqrt[3]{\sqrt[4]{abc}}$$=6$

Kết luận :  $MaxP=\frac{1}{2}\iff a=b=c=1$