Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $3^x=xy+1$ có vô số nghiệm nguyên dương 

Lời giải : 

Phương trình đã cho viết thành : $y=\frac{3^x-1}{x}$

Chọn $x=2^a(a\in {\mathbb{Z}}^{+})$, ta sẽ chứng minh rằng $2^a|3^{2^a}-1(\ast )$

Thật vậy, giả sử $(\ast )$ đúng, xét với $a+1$ :

$$3^{2^{a+1}}-1=(3^{2^a}{)}^2-1=(3^{2^a}-1)(3^{2^a}+1)$$

Theo giả thiết quy nạp thì $2^a|3^{2^a}-1$ mà dễ thấy $2|3^{2^a}+1$

Suy ra $2^{a+1}|3^{2^{a+1}}-1$

Như vậy $(\ast )$ đúng. Khi đó phương trình có vô số nghiệm nguyên dương và một họ nghiệm là $(x;y)=\left(2^a;\frac{3^{2^a}-1}{2^a}\right)$ trong đó $a\in {\mathbb{Z}}^{+}$