Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Giải hệ phương trình nghiệm nguyên $\{\begin{array}{ccc}{x}^{x+y}=y^{12}& (1)& \\ y^{x+y}=x^3& (2)& \end{array}$

Lời giải :

Dễ thấy hệ có nghiệm tầm thường $(1;1)$.

Từ $(1)$, suy ra $x=\sqrt[x+y]{y^{12}}$. Thay vào $(2)$ : $y^{x+y}=\sqrt[x+y]{y^{36}}\Rightarrow y^{(x+y{)}^2}=y^{36}\Rightarrow x+y=\pm 6$

Nếu $x+y<0$ thì $y^{12}=x^{x+y}\notin \mathbb{Z}$ (vô lí). Do đó phải có $x+y=6$

Thay $x=6-y$ vào $(2)$ : $y^6=(6-y{)}^3\iff y^6+y^3-18y^2+108y-216=0\iff (y-2)(y+3)(y^4-y^3+7y^2-12y+36)=0$

Mặt khác dễ thấy $y^4-y^3+7y^2-12y+36=(y^4-y^3+y^2)+6(y^2-2y+6)=y^2\left[{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\right]+6\left[{\left(y-1\right)}^2+5\right]>0$

Do đó $y=2$ hoặc $y=-3$

Kết luận : $\boxed{(x;y)=(1;1);(4;2);(9;-3)}$