Bài toán [Nguyên lí cực hạn trong giải phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $(x+y+z{)}^2=7xyz$ không có nghiệm nguyên dương

Lời giải :

Gọi $\left(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime }\right)$ là một nghiệm thỏa mãn phương trình với $z^{\prime }$ là số nhỏ nhất

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x^{\prime }\le y^{\prime }\le z^{\prime }$

Khi đó ta có :

$$z^{\prime }|(x^{\prime }+y^{\prime }+z^{\prime }{)}^2\Rightarrow z|(x^{\prime }+y^{\prime }{)}^2+2z^{\prime }(x^{\prime }+y^{\prime })+z^{\prime 2}\Rightarrow z^{\prime }|(x^{\prime }+y^{\prime }{)}^2$$

Mặt khác xét phương trình bậc hai ẩn $z$ :

$$z^2-(7x^{\prime }{y}^{\prime }-2x^{\prime }-2y^{\prime })z+(x^{\prime }+y^{\prime }{)}^2=0$$

Hiển nhiên phương trình này có một nghiệm $z^{\prime }$

Theo định lí $Viete$ thì nghiệm còn lại của nó là $\frac{(x^{\prime }+y^{\prime }{)}^2}{z^{\prime }}\in \mathbb{Z}$.

Như vậy $\left(x^{\prime };y^{\prime };\frac{(x^{\prime }+y^{\prime }{)}^2}{z^{\prime }}\right)$ cũng là một bộ số thỏa mãn phương trình.

Nếu giả sử $x^{\prime }+y^{\prime }<z^{\prime }\Rightarrow \frac{(x^{\prime }+y^{\prime }{)}^2}{z^{\prime }}<z^{\prime }$ thì vô lí vì $(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$ cũng là một bộ số thỏa mãn phương trình và vì tính nhỏ nhất của $z^{\prime }$

Do đó phải có $z^{\prime }\le x^{\prime }+y^{\prime }$. Khai triển phương trình ban đầu và chia hai vế của nó cho $x^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$ ta được :

$7$$\le \frac{x^{\prime }}{y^{\prime }{z}^{\prime }}+\frac{y^{\prime }}{z^{\prime }{x}^{\prime }}+\frac{z^{\prime }}{x^{\prime }{y}^{\prime }}+\frac{2}{x^{\prime }}+\frac{2}{y^{\prime }}+\frac{2}{z^{\prime }}$$\le \frac{1}{z^{\prime }}+\frac{1}{x^{\prime }}+\frac{x^{\prime }+y^{\prime }}{x^{\prime }{y}^{\prime }}+\frac{2}{x^{\prime }}+\frac{2}{y^{\prime }}+\frac{2}{z^{\prime }}$$=\frac{4}{x^{\prime }}+\frac{3}{y^{\prime }}+\frac{3}{z^{\prime }}$$\le \frac{10}{x^{\prime }}$$\Rightarrow x^{\prime }$$\le \frac{10}{7}$$\Rightarrow x^{\prime }$$=1$

Khi đó $y^{\prime }\le z^{\prime }\le y^{\prime }+1\Rightarrow z^{\prime }=y\vee z^{\prime }=y^{\prime }+1$

• Nếu $z^{\prime }=y^{\prime }$ thì ta có phương trình $(1+2z^{\prime }{)}^2=7z^{\prime 2}\iff 3z^{\prime 2}-4z^{\prime }-1=0\iff z^{\prime }=\frac{2\pm \sqrt{7}}{3}$ (loại)
• Nếu $z^{\prime }=y^{\prime }+1$ thì ta có phương trình $(2+2z^{\prime }{)}^2=7z^{\prime }(z^{\prime }+1)\iff 3z^{\prime 2}-z^{\prime }-4=0\iff z\in \left\{-1;\frac{4}{3}\right\}$ (loại)

Kết luận : Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.