Bài toán [Các đường đồng quy]

Bài toán : Cho tam giác $ABC$, các điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ đồng quy. Gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ đồng quy.

Lời giải :

Vì $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ đồng quy nên theo định lí $Ceva$ ta có : $\frac{A^{\prime }B}{A^{\prime }C}.\frac{B^{\prime }C}{B^{\prime }A}.\frac{C^{\prime }A}{C^{\prime }B}=1$

Ta có $A^{\prime }{A}_1{B}^{\prime }{B}_1$ là tứ giác nội tiếp nên ta có : $C{A}_1.C{A}^{\prime }=C{B}^{\prime }.C{B}_1\Rightarrow \frac{C{A}_1}{C{B}_1}=\frac{C{B}^{\prime }}{C{A}^{\prime }}$

Tương tự, ta có : $\frac{A{B}_1}{A{C}_1}=\frac{A{C}^{\prime }}{A{B}^{\prime }}$ và $\frac{B{C}_1}{B{A}_1}=\frac{B{A}^{\prime }}{B{C}^{\prime }}$

Nhân các kết quả trên vế theo vế :

$\frac{C{A}_1}{C{B}_1}.\frac{A{B}_1}{A{C}_1}.\frac{B{C}_1}{B{A}_1}$$=\frac{C{B}^{\prime }}{C{A}^{\prime }}.\frac{A{C}^{\prime }}{A{B}^{\prime }}.\frac{B{A}^{\prime }}{B{C}^{\prime }}$$=\frac{A^{\prime }B}{A^{\prime }C}.\frac{B^{\prime }C}{B^{\prime }A}.\frac{C^{\prime }A}{C^{\prime }B}$$=1$$\iff \frac{A_{1}C}{A_{1}B}.\frac{C_{1}B}{C_{1}A}.\frac{B_{1}A}{B_{1}C}$$=1$

Theo định lí $Ceva$ ta có $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ đồng quy. Đây là điều phải chứng minh