Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 2010 THPT Chuyên Vị Thanh tỉnh Hậu Giang) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phần nguyên của biểu thức $A=\dfrac{n^{3}+8n^{2}+1}{3n}$ là một số nguyên tố Lời giải : Ta có $A=\dfrac{n^{3}+8n^{2}+1}{3n}=\dfrac{n^{2}}{3}+2n+\dfrac{2n}{3}+\dfrac{1}{3n}$ Trường hợp 1 : Xét $n = 3k$ ($k\in \mathbb{Z}^{+}$) : \[A=\dfrac{(3k)^{2}}{3}+2.(3k)+\dfrac{2.(3k)}{3}+\dfrac{1}{3.(3k)}=3k^{2}+8k+\dfrac{1}{9k}\] Do đó $\left [ A \right ]=3k^{2}+8k=k(3k+8)$ Để $\left [ A \right ]\in \mathbb{P}$ thì $k = 1$ Trường hợp 2 : Xét $n = 3k+1$ ($k\in \mathbb{N}$) \[A=\dfrac{(3k+1)^{2}}{3}+2(3k+1)+\dfrac{2(3k+1)}{3}+\dfrac{1}{3(3k+1)}=3k^{2}+10k+3+\dfrac{1}{9k+3}\] Do đó $\left [ A \right ]=3k^{2}+10+3=(k+3)(3k+1)$ Để $\left [ A \right ]\in \mathbb{P}$ thì $k=0$ Trường hợp 3 : Xét $n = 3k+2$ ($k\in \mathbb{N}$) \[A=\dfrac{(3k+2)^{2}}{3}+2(3k+2)+\dfrac{2(3k+2)}{3}+\dfrac{1}{3(3k+2)}=3k^{2}+12k+6+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3(3k+2)}\] Hiển nhiên $\dfrac{1}{3(3k+2)}<\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3(3k+2)}<1\Rightarrow \left [ A \right ]=3k^{2}+12k+6$ Do $3|\left [ A \right ]$ và $\left [ A \right ]>3$ nên $\left [ A \right ]$ là hợp số. Kết luận : $\boxed{n\in \left \{ 1;3 \right \}}$ Nhận xét : Ta xét số dư của số $n$ khi chia cho $3$ là vì mẫu số là một biểu thức chia hết cho $3$.

Bài toán [Phần nguyên, Số nguyên tố]

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 2010 THPT Chuyên Vị Thanh tỉnh Hậu Giang)

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phần nguyên của biểu thức $A = \frac{n ^{3} + 8 n ^{2} + 1}{3 n}$ là một số nguyên tố

Lời giải :

Ta có $A = \frac{n ^{3} + 8 n ^{2} + 1}{3 n} = \frac{n ^{2}}{3} + 2 n + \frac{2 n}{3} + \frac{1}{3 n}$

Trường hợp 1 : Xét $n = 3 k$ ( $k \in Z^{+}$ ) :

$A = \frac{( 3 k ) ^{2}}{3} + 2. (3 k) + \frac{2. ( 3 k )}{3} + \frac{1}{3. ( 3 k )} = 3 k^{2} + 8 k + \frac{1}{9 k}$

Do đó $[A] = 3 k^{2} + 8 k = k (3 k + 8)$

Để $[A] \in P$ thì $k = 1$

Trường hợp 2 : Xét $n = 3 k + 1$ ( $k \in N$ )

$A = \frac{( 3 k + 1 ) ^{2}}{3} + 2 (3 k + 1) + \frac{2 ( 3 k + 1 )}{3} + \frac{1}{3 ( 3 k + 1 )} = 3 k^{2} + 10 k + 3 + \frac{1}{9 k + 3}$

Do đó $[A] = 3 k^{2} + 10 + 3 = (k + 3) (3 k + 1)$

Để $[A] \in P$ thì $k = 0$

Trường hợp 3 : Xét $n = 3 k + 2$ ( $k \in N$ )

$A = \frac{( 3 k + 2 ) ^{2}}{3} + 2 (3 k + 2) + \frac{2 ( 3 k + 2 )}{3} + \frac{1}{3 ( 3 k + 2 )} = 3 k^{2} + 12 k + 6 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3 ( 3 k + 2 )}$

Hiển nhiên $\frac{1}{3 ( 3 k + 2 )} < \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2}{3} + \frac{1}{3 ( 3 k + 2 )} < 1 \Rightarrow [A] = 3 k^{2} + 12 k + 6$

Do $3∣ [A]$ và $[A] > 3$ nên $[A]$ là hợp số.

Kết luận : $n \in {1; 3}$

Nhận xét : Ta xét số dư của số $n$ khi chia cho $3$ là vì mẫu số là một biểu thức chia hết cho $3$ .

Bài toán [Phần nguyên, Số nguyên tố]

Đề bài

Mô tả