Bài toán [Những dạng bài số học khác]

Bài toán : Chứng minh số $3^{4^5}+4^{5^6}$ có thể phân tích thành tích của hai số nguyên mà mỗi số không nhỏ hơn $10^{2013}$. 

Lời giải :

Đặt $m=3^{4^4}$ và $n=2^{\frac{5^6-1}{2}}$

Khi đó ta có $3^{4^5}=3^{4^4.4}=m^4$ và $n^4=(2^{5^6-1}{)}^2=4^{5^6-1}\Rightarrow 4n^4=4^{5^6}$

Do đó ta có $3^{4^5}+4^{5^6}=m^4+4n^4=(m^2-2mn+2n^2)(n^2+2mn+2n^2)(1)$

Lại có $m^2-2mn+2n^2=(m-n{)}^2+n^2\ge n^2=2^{5^6-1}>2^{8052}=(2^4{)}^{2013}>10^{2013}$

Và $m^2+2mn+2n^2>m^2-2mn+2n^2>10^{2013}(2)$

Nên từ $(1)(2)$ ta có đpcm