Danh sách tổng hợp các bài toán số học

Bài 1  Chứng minh rằng số $3^{4^5}+4^{5^6}$ có thể phân tích được thành tích của hai số nguyên mà mỗi số không nhỏ hơn $10^{2013}$.

Bài 2  Cho các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=t$ với $t$ là số nguyên. Chứng minh rằng $\sqrt[3]{xyz}\in \mathbb{Z}$

Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phần nguyên của biểu thức $A=\frac{n^3+8n^2+1}{3n}$ là một số nguyên tố

Bài 4 Cho bốn số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn 

$$\{\begin{array}{ccc}a>b>c>d>0& & \\ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)& & \end{array}$$

Chứng minh rằng $ab+cd$ là hợp số

Bài 5 Cho các số thực $a,b$. Chứng minh rằng $\left[2a\right]+\left[2b\right]\ge [a]+[b]+[a+b]$

Bài 6 Cho $n,p$ là các số nguyên dương lớn hơn $1$

a) Chứng minh rằng số bội số của $p$ trong dãy $1,2,3,...,n$ là $\left[\frac{n}{p}\right]$

b) Chứng minh rằng nếu $p^e\parallel n!$ thì $e=\left[\frac{n}{p}\right]+\left[\frac{n}{p^2}\right]+\left[\frac{n}{p^3}\right]+...$

Bài 7 Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tập hợp $\left\{n;n+1;n+2;n+3;n+4;n+5\right\}$ được chia thành hai tập con rời nhau mà tích các phần tử của mỗi tập hợp là bằng nhau

Bài 8 Chứng minh rằng tổng bình phương của $1984$ số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương

Bài 9 Cho ba số tự nhiên $a,b,c$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $a-b$ là số nguyên tố và $3c^2=c(a+b)+ab$. Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương

Bài 10 Cho các số nguyên dương $x,y,A$ thỏa mãn hệ thức $A=\frac{x^2+y^2+30}{xy}$. Chứng minh rằng $A$ là lũy thừa bậc năm của một số nguyên

Bài 11 Cho các số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn $\frac{a^p+b^p}{c^p+d^p}=\frac{1}{p-1}$ với $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ chia hết cho $p$

Bài 12 Tìm bảy số nguyên tố sao cho tổng các lũy thừa bậc sáu của chúng bằng tích của chúng

Bài 13 Cho $a,b,c$ là ba số nguyên khác $0$ và $a\ne c$ sao cho $\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$. Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2$ không thể là số nguyên tố

Bài 14 Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $n^{n+1}+(n+1{)}^n$ chia hết cho $5$

Bài 15 Cho số nguyên tố $p$ lẻ và số tự nhiên lẻ $a,b$ thỏa mãn $a+b$ chia hết cho $p$ và $a-b$ chia hết cho $p-1$. Chứng minh rằng $a^b+b^a$ chia hết cho $2p$ và $a^a+b^b$ chia hết cho $2p$

Bài 16 Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố. Đặt $x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a$. Biết rằng $x^2=y$ và hiệu $\sqrt{z}-\sqrt{y}$ là bình phương của một số nguyên tố. Tìm $a,b,c$

Bài 17 Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố $p$ thỏa mãn tính chất :

Không tồn tại tập hợp gồm $p-1$ số nguyên dương liên tiếp mà có thể phân chia thành hai tập con rời nhau sao cho tích các phần tử thuộc tập này bằng tích các phần tử thuộc tập kia.

Bài 18 Cho $m,n$ là hai số nguyên dương sao cho $2^n-1$ chia hết cho $(2^m-1{)}^2$. Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $m(2^m-1)$

Bài 19 Cho $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ sao cho ước số nguyên tố của $n^6-1$ cũng là ước số của $(n^3-1)(n^2-1)$. Chứng minh rằng $n=2$.

Bài 20 Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn tích $ab$ là một số chính phương. Chứng minh rằng đa thức $x^a+x^b+1$ không chia hết cho đa thức $x^2+x+1$ với mọi $x>1$.

Bài 21  Một số nguyên được gọi là số $square-free$ nếu nó là tích của các số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$, luôn tồn tại $k$ số nguyên liên tiếp mà không có số nào là số $square-free$.

Bài 22 Cho ba số nguyên dương $a,b,c$ có ước chung lớn nhất bằng $1$ và thỏa mãn $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a-b$ là một số chính phương.

Bài 23 Cho các số nguyên dương $a,b,k$ thỏa mãn $k=\frac{a^2+ab+b^2}{ab+1}$. Chứng minh rằng $k$ là số chính phương.

Bài 24 Cho các số nguyên $a,b$ và số nguyên tố $p$  thỏa mãn $\frac{a^2+b^2}{p}\in \mathbb{Z}$. Cho biết $p$ là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng $\frac{a^2+b^2}{p}$ cũng là tổng của hai số chính phương.

Bài 25 Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho luôn tồn tại số nguyên $m$ thỏa mãn $2^n-1\mid m^2+9$.

*Bài tương tự : Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $3\mid 2^n-1$ và tồn tại một số nguyên dương $m$ sao cho $\frac{2^n-1}{3}\mid 4m^2+1$

Bài 26 Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}\in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng $a=b$

Bài 27 

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ bất kì, luôn tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp mà trong đó không có số nào là lũy thừa của một số nguyên tố.

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho bất kì số nào trong chúng cũng chia hết cho $n$ số nguyên tố liên tiếp.

Bài 28 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k,m,n$ thì ta đều có $\frac{(km)!(kn)!}{((m+n)!{)}^{k-1}m!n!}\in \mathbb{Z}$

Bài 29  Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k$, $k<m$ thì luôn tồn tại số nguyên $h$ sao cho $h{p}^m+p^k⋮k!$

Bài 30 : Cho hai số nguyên dương $p,q$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $k$ sao cho $(pq-1{)}^n.k+1$ là hợp số với mọi số nguyên dương $n$.

Bài 31 : Cho tập $A=\left\{a_1,a_2,...,a_n\right\}$ với $a_i\in \mathbb{N}\forall i=\overline{1,n}$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $n$ sao cho các phần tử của tập $B=\left\{n{a}_1,n{a}_2,...,n{a}_k\right\}$ đều là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn $1$.

Bài 32 : Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng luôn tồn tại một bội số của $p$ sao cho $10$ chữ số tận cùng của nó đôi một khác nhau.

Bài 33 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ luôn tồn tại $n$ số nguyên $a_1,a_2,...,a_n$ sao cho $a_i+a_j$  là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn $1$ với mọi $i,j\in \left\{1,2,3,...,n\right\}$

Bài 34 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ luôn tồn tại một dãy gồm $n$ số nguyên liên tiếp sao cho bất kì số nào trong dãy cũng đều có ước dạng $2^k-1$.

Bài 35 Cho các số nguyên tố $p,q,r$ trong đó $p$ lẻ thỏa mãn $p\mid q^r+1$. Chứng minh rằng $2r\mid p-1$ hoặc $p\mid q^2-1$

Bài 36 Cho số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$ và thỏa mãn $n\mid 3^n-1$. Chứng minh rằng $n$ là số chẵn.

Bài 37 Cho dãy $\left\{u_n\right\}$ thỏa mãn $\{\begin{array}{c}{u}_1=2013\\ u_{n+1}=u_n^3-4u_n^2+5u_n\end{array}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tìm số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p\equiv 3(mod4)$ và $p\mid u_{2014}+2009$

* Các bài toán tương tự :

1) Cho dãy $\left\{u_n\right\}$ xác định bởi $\{\begin{array}{c}{u}_1=5\\ u_{n+1}=u_n^3-2u_n+2\end{array}$. Tìm số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p\equiv 3(mod4)$ và $p\mid u_{2011}+1$

2) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=34$ và $a_{n+1}=4a_n^3-104a_n^2-107a_n$ với mọi số nguyên dương $n$. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p\equiv 3(mod4)$ và $a_{2013}+1$ chia hết cho $p$

Bài 38 Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n\mid 2^n+5^n$. Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $7$

Bài 39  Cho $n$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố và các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn : $a^n+pb=b^n+pc=c^n+pa$. Chứng minh rằng $a=b=c$.

Bài 40 Chứng minh rằng $C_p^k$ chia hết cho $p$ với $k=1,2,...,p-1$.

Bài 41 Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a+b,ab$ là các số nguyên dương và $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor$ là một số chính phương. Chứng minh rằng $a,b$ là các số nguyên dương.

Bài 42 Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$. Chứng minh rằng $u-1$ chia hết cho $3$.

Bài 43  Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh 

$$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$$

Bài 44 Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $2^n+1$ không có ước nguyên tố dạng $8k+7$.

 Bài 45 Với số tự nhiên bất kì $n$, chứng minh rằng:

 

$$\lfloor \frac{n}{1}\rfloor +\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +...+\lfloor \frac{n}{n}\rfloor +\lfloor \sqrt{n}\rfloor$$

 

là số chẵn Bài 46 Cho các số nguyên dương $n,a,b$ và số nguyên tố $p$ thoả mãn :

$$a^p+b^p=2^n$$

Chứng minh rằng $n-1$ chia hết cho $p$.

Bài 47  Cho số nguyên dương $n>1$. Chứng minh rằng $2^{n-1}+1$ không chia hết cho $n$.

 Bài 48  Cho $a,n,k$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của $a^{2.6^n}-a^{6^n}+1$ đều có dạng $6^{n+1}.k+1$.

Bài 49 Cho các số tự nhiên $m,n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một số nguyên tố và chia hết $2(m^2+n^2)-1$. Chứng minh rằng $m=n$.

Bài 50 Cho số nguyên tố $p\equiv 2(mod3)$ và dãy $a_k=k^2+k+1$ với $k=1,2,...,p-1$. Chứng minh rằng :

$$a_1{a}_2...a_{p-1}\equiv 3(modp)$$

Bài 51 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại một tập hợp $S$ gồm $n$ phần tử sao cho bất kì một tập con nào của $S$ cũng có tổng các phần tử là lũy thừa của một số tự nhiên.

Bài 52 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì :

$$n!\mid \underset{k=0}{\prod ^n}(2^n-2^k)$$

Bài 53  Cho $a$ là một số tự nhiên. Biết rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $4(a^n+1)$ là một lập phương đúng. Chứng minh $a=1$.

Bài 54 Cho $x_1,x_2,...,x_{2n+1},y_1,y_2,....,y_{2n+1}$ là các số nguyên dương với $n$ là số nguyên dương tuỳ ý và $p$ là một số nguyên tố có dạng $4k+3$. Chứng minh rằng :

$$\left[(p-1)x_1^2+p{y}_1^2\right]\left[(p-1)x_2^2+p{y}_2^2\right]...\left[(p-1)x_{2n+1}^2+p{y}_{2n+1}^2\right]$$

không là một số chính phương.

Bài 55 Cho $n$ là số nguyên dương không phải là lập phương của một số tự nhiên. Chứng minh bất đẳng thức :

$$\left\{\sqrt[3]{n}\right\}>\frac{1}{3\sqrt[3]{n^2}}$$