Bài toán [Nguyên lí cực hạn, Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Cho phương trình ${\left(x+y+z\right)}^2=nxyz$ với $n$ là số tự nhiên khác không. Tìm $n$ để phương trình có nghiệm nguyên dương

Lời giải :

Gọi $\left(x_0;y_0;z_0\right)$ bộ số thỏa đề sao cho $x_0+y_0+z_0$ nhỏ nhất.

Xét phương trình bậc hai ẩn $x$ :

$(x+y_0+z_0{)}^2$$=nx{y}_0{z}_0$$\iff x^2-(n{y}_0{z}_0-2y_0-2z_0)x_0+(y_0+z_0{)}^2$$=0$

Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là $x_0$, gọi nghiệm còn lại là $x_1$.

Theo định lí $Viete$ :

$$\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_0=n{y}_0{z}_0-2y_0-2z_0& (1)& \\ x_1{x}_0=(y_0+z_0{)}^2& (2)& \end{array}$$

Từ $(1)$ có $x_1$ nguyên dương, do đó bộ $\left(x_1;y_0;z_0\right)$ cũng thỏa mãn phương trình, mặt khác do tính nhỏ nhất của tổng $x_0+y_0+z_0$ nên $x_1\ge x_0$.

Từ $(2)$ : $x_0^2\le x_1{x}_0=(y_0+z_0{)}^2\Rightarrow x_0\le y_0+z_0$

Do đó từ $(1)$ : $2x_0\le x_1+x_0=n{y}_0{z}_0-2(y_0+z_0)\le n{y}_0{z}_0-2x_0\Rightarrow \frac{x_0}{y_0{z}_0}\le \frac{n}{4}$

Khai triển vế trái và chia hai vế của phương trình ban đầu cho tích $x_0{y}_0{z}_0$ :

$\frac{x_0}{y_0{z}_0}+\frac{y_0}{x_0{z}_0}+\frac{z_0}{x_0{y}_0}+\frac{2}{x_0}+\frac{2}{y_0}+\frac{2}{z_0}$$=n$

Bây giờ, ta giả sử $x_0\ge y_0\ge z_0>0\Rightarrow x_0\ge 3;y_0\ge 2;z_0\ge 1$

Khi đó $\frac{y_0}{z_0{x}_0}\le \frac{1}{x_0}\le 1;\frac{z_0}{x_0{y}_0}\le \frac{1}{y_0}\le \frac{1}{2}$

Suy ra $n\le \frac{n}{4}+1+\frac{1}{2}+2+2+2\iff n\le 10$

Mà $n$ nguyên dương nên $n\in \left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}$

• Nếu $n=1$ phương trình có nghiệm $(9;9;9)$
• Nếu $n=2$ phương trình có nghiệm $(8;4;4)$
• Nếu $n=3$ phương trình có nghiệm $(3;3;3)$
• Nếu $n=4$ phương trình có nghiệm $(4;2;2)$
• Nếu $n=5$ phương trình có nghiệm $(1;4;5)$
• Nếu $n=6$ phương trình có nghiệm $(1;2;3)$
• Nếu $n=7$, phương trình vô nghiệm (chứng minh tại đây )
• Nếu $n=8$, phương trình có nghiệm $(1;2;1)$
• Nếu $n=9$ phương trình có nghiệm $(1;1;1)$
• Nếu $n=10$ thì dấu bằng phải xảy ra đồng thời ở các điểm :

$$\frac{2}{x}=\frac{2}{y}=\frac{2}{z}=2$$

$$\frac{x}{yz}=\frac{n}{4}=\frac{10}{4}$$

$$\frac{y}{zx}=1;\frac{z}{xy}=\frac{1}{2}$$

Dễ thấy không tồn tại các số $x,y,z$ thỏa mãn tất cả các điều kiện trên.

Kết luận :$\boxed{n\in \left\{1;2;3;4;5;6;8;9\right\}}$