Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Tiền Giang tỉnh Tiền Giang) Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^{y^{x}}=y^{x^{y}}$. Lời giải : Bổ đề : Với $y\geq 2$ và $y,t$ là các số nguyên dương thì ta có $y^{t}\geq ty$ Chứng minh bổ đề : Với $t = 1$ ta có $y\geq y$ (luôn đúng) Gỉa sử mệnh đề đúng, xét với $t + 1$ : \[y^{t+1}=y^{t}.y\geq ty.y\geq 2t.y\geq (t+1)y\] Theo nguyên lí quy nạp, bổ đề được chứng minh. TRỞ LẠI BÀI TOÁN : Nếu $x=1$ thì $y = 1$. Nếu $y = 1$ thì $x = 1$. Ta xét $x,y\geq 2$ Nếu $x^{y}=y^{x}$ từ phương trình ta phải có $x = y$ Nếu $x^{y}\neq y^{x}$, không mất tính tổng quát, ta giả sử $x^{y}>y^{x}\qquad(1)$ Chia hai vế của phương trình cho $y^{y^{x}}$, ta được : \[\left ( \dfrac{x}{y} \right )^{y^{x}}=y^{x^{y}-y^{x}}\] Vì $x^{y}>y^{x}\Rightarrow y^{x^{y}-y^{x}}\in \mathbb{Z}\Rightarrow y|x$. Đặt $x=ty\qquad(t\in \mathbb{Z}^{+})$ Từ $(1)$ ta có $x>y^{\frac{x}{y}}=y^{t}\Rightarrow ty>y^{t}$ Điều này mâu thuẫn với bổ đề trên. Do đó trường hợp này loại. Kết luận : $\boxed{(x;y)=(t;t)}$ với $t$ là một số nguyên dương bất kì.

Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Tiền Giang tỉnh Tiền Giang)

Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^{y^{x}} = y^{x^{y}}$ .

Lời giải :

Bổ đề : Với $y \geq 2$ và $y, t$ là các số nguyên dương thì ta có $y^{t} \geq t y$

Chứng minh bổ đề :

Với $t = 1$ ta có $y \geq y$ (luôn đúng)

Gỉa sử mệnh đề đúng, xét với $t + 1$ :

$y^{t + 1} = y^{t} . y \geq t y . y \geq 2 t . y \geq (t + 1) y$

Theo nguyên lí quy nạp, bổ đề được chứng minh.

TRỞ LẠI BÀI TOÁN :

Nếu $x = 1$ thì $y = 1$ . Nếu $y = 1$ thì $x = 1$ . Ta xét $x, y \geq 2$

Nếu $x^{y} = y^{x}$ từ phương trình ta phải có $x = y$
Nếu $x^{y} \neq = y^{x}$ , không mất tính tổng quát, ta giả sử $x^{y} > y^{x} (1)$

Chia hai vế của phương trình cho $y^{y^{x}}$ , ta được :

$(\frac{x}{y})^{y^{x}} = y^{x^{y} - y^{x}}$

Vì $x^{y} > y^{x} \Rightarrow y^{x^{y} - y^{x}} \in Z \Rightarrow y ∣ x$ . Đặt $x = t y (t \in Z^{+})$

Từ $(1)$ ta có $x > y^{\frac{x}{y}} = y^{t} \Rightarrow t y > y^{t}$

Điều này mâu thuẫn với bổ đề trên.

Do đó trường hợp này loại.

Kết luận : $(x; y) = (t; t)$ với $t$ là một số nguyên dương bất kì.

Mô tả

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Tiền Giang tỉnh Tiền Giang) Giải phương trình nghiệm nguyên dương . Lời giải : Bổ đề : Với và là các số nguyên dương thì ta có Chứng minh bổ đề : Với ta có (luôn đúng) Gỉa sử mệnh đề đúng, xét […]

Quy nạp toán họcPhương trình nghiệm nguyên

Nguồn: julielltv