Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Cho số nguyên tố $p$ và số tự nhiên $n$. Chứng minh rằng phương trình $\frac{x^2+x}{y^2+y}=p^{2n}$ không có nghiệm nguyên dương.

Lời giải :

Phương trình đã cho viết thành : $x(x+1)=p^{2n}.y(y+1)\Rightarrow p^{2n}|x(x+1)$

Mặt khác có $gcd(x,x+1)=1$, do đó $p^{2n}|x\vee p^{2n}|x+1$

• Nếu $p^{2n}|x$. Đặt $x=p^{2n}.k(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$

Thay vào phương trình :

$p^{2n}.k(p^{2n}.k+1)$$=p^{2n}(y^2+y)$$\iff p^{2n}.k^2+k$$=y^2+y$$\iff (p^n.k-y)(p^n.k+y)$$=y-k$

+ Xét $y=k$ thì $(p^n.k-y)(p^n.k+y)=0\Rightarrow p^n.k=y\Rightarrow p^n=1$ (vô lí)

+ Xét $y>k$ thì $(p^n.k-y)(p^n.k+y)>0\Rightarrow p^n.k-y>0$.

Từ phương trình suy ra $y-k\ge p^n.k+y\Rightarrow k(1+p^n)\le 0$ (vô lí)

+ Xét $y<k$ thì $y<p^n.k\Rightarrow (p^n.k-y)(p^n.k+y)>0>y-k$ (loại)

• Nếu $p^{2n}|x+1$. Đặt $x+1=p^{2n}.k(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$

Thay vào phương trình :

$(p^{2n}.k-1)p^{2n}.k$$=p^{2n}(y^2+y)$$\iff p^{2n}.k^2-k$$=y^2+y$$\iff (p^n.k-y)(p^n.k+y)$$=y+k$

+ Xét $p^n.k\le y\Rightarrow y+k=(p^n.k+y)(p^n.k-y)\le 0$ (vô lí)

+ Xét $p^n.k>y\Rightarrow p^n.k+y\le k+y\Rightarrow p^n\le 1$ (vô lí)

Kết luận : Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.