1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho trước số nguyên dương . Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : Lời giải : Bổ đề quen thuộc : Nếu nguyên và nguyên tố có dạng thỏa thì và Giải : Dễ thấy là số nguyên tố chia dư nên theo bổ đề ta có và Đặt Thay vào […]
Bài toán (Đình Huy) : Giải hệ phương trình sau : Lời giải : Điều kiện Nhận xét rằng không là nghiệm của hệ phương trình Ta xét Đặt Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử Khi đó Vì nên Suy ra . Tương tự và cuối cùng ta thu được Thay […]
Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên Lời giải : Khai triển, ta được : Mặt khác ta có : Do đó Hiển nhiên lẻ nên , điều này vô lí. Kết luận : Phương trình không có nghiệm nguyên. Nhận xét : Đề bài có thể thay đổi thành : “Chứng minh rằng tổng […]
Bài toán : Cho ngũ giác nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên các cạnh . Chứng minh rằng năm đường thẳng đồng quy. Lời giải : Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống thì là […]
Bài toán (Đình Huy) : Cho các số nguyên và số nguyên tố thỏa mãn hệ thức Chứng minh rằng chia hết cho . Lời giải : Xét biểu thức Theo định lí nhỏ, ta có : Mặt khác từ giả thiết ta có : Từ suy ra chia hết cho . Đây là điều […]
Bài toán (Junior Balkan MO 1998) : Tìm các số nguyên dương , thỏa mãn : Lời giải : Từ phương trình đã cho, ta có : Đặt (với ) Thay vào phương trình ta được : Nếu ta được . Thử lại thỏa mãn Nếu : Xét thì , Lại có nên (loại) Xét thì , mà […]
Bài toán : Cho là các số nguyên dương lớn hơn . a) Chứng minh rằng số bội số của trong dãy là b) (Định lí Legendre) Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố và với thì Lời giải : Bổ đề : Nếu thì Chứng minh bổ đề : Ta có . Đặt […]
Bài toán : Chứng minh rằng sau có vô hạn nghiệm nguyên : Lời giải : Đưa phương trình về dạng : Ta có nhận xét sau : Áp dụng nhận xét trên, ta chọn : Khi đó ta lập tức được Như vậy ta chỉ cần tìm thỏa mãn nguyên. Từ và với nhận […]
Bài toán (THTT số 241) : Cho ba số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải : Áp dụng BĐT : Không mất tính tổng quát, ta giả sử Áp dụng BĐT : Từ suy ra : Vậy :
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức : Lời giải : Áp dụng BĐT : Do đó ta chỉ cần chứng minh : Theo nguyên lí thì tồn tại hai trong ba số có cùng dấu. Gỉa sử cùng dấu thì ta có : Đây là đpcm. Đẳng thức […]
Bài toán : Cho các số thực . Chứng minh rằng : Lời giải : Bổ đề 1: Ta luôn có bằng hoặc với mọi số thực Chứng minh bổ đề 1 : Nếu Thì Mặt khác hiển nhiên Tức là Nếu Thì Mặt khác luôn có Tức là Suy ra Bổ đề 2 : […]
Bài toán : Cho tam giác và là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc . Đường tròn này tiếp xúc với lần lượt tại . cắt tại , cắt tại . Gọi lần lượt là giao điểm của , với . Chứng minh rằng: là trung điểm của . Lời giải : Trước tiên, ta sẽ chứng minh bằng cách chứng […]
Bài toán : Cho sáu điểm bất kì trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi là một tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong sáu điểm trên. Ba điểm còn lại là ba đỉnh của tam giác . Chứng minh rằng với mọi cách chọn tam giác , […]
Bài toán (Junior Balkan MO 2009) : Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình sau : Lời giải : Phương trình tương đương : Khi thì , Khi thì , tìm được Khi thì tìm được không nguyên Xét : Dễ thấy và phải cùng là số chẵn Xét các trường hợp : Trường […]
Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên dương Lời giải : Trường hợp 1 : Nếu thì : Ta có : mà Do đó chẵn Đặt (với nguyên dương), ta được : Do đó : Với tự nhiên và Trừ vế với vế : Xét riêng phương trình . Bằng cách xét đồng dư mô-đun , […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Áp dụng BĐT : Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo từng vế, ta được : Nhưng với thì ta luôn có đẳng thức sau : Do đó Ta có điều phải chứng minh. Đẳng […]
Bài toán : Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho tập hợp được chia thành hai tập con rời nhau mà tích các phần tử của mỗi tập hợp là bằng nhau. Lời giải : Xét tích , theo đề bài dễ thấy phải là một số chính phương. Nhận xét rằng trong […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Viết BĐT thành : Nhận xét rằng ta có các đẳng thức sau : Do đó cần chứng minh : Ta sẽ chứng minh dễ thấy chỉ cần chứng minh là đủ vì . Thật vậy, Không mất tính tổng quát, […]
Bài toán : Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với các hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỉ. Lời giải : Xét đa thức Trong đó là số nguyên dương và là các số nguyên lẻ. Giả sử đa thức trên có nghiệm hữu tỉ với Khi đó : Mà nên . […]
Bài toán (IMO 2001) : Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện : Chứng minh rằng là hợp số. Lời giải : Gỉa thiết đã cho tương đương : Do đó : Chú ý rằng với điều kiện ta có : Gỉa sử là một số nguyên tố, vì nên Mặt khác, từ ta […]