Bài toán [Hợp số]

Bài toán  (IMO 2001) :  Cho bốn số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện :

$$\{\begin{array}{ccc}a>b>c>d>0& & \\ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)& & \end{array}$$

Chứng minh rằng $ab+cd$ là hợp số.

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho tương đương :

$ac+bd$$=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$$=(b+d{)}^2-(a-c{)}^2$$=(b^2+d^2+2bd)-(a^2+c^2-2ac)$$\iff a^2-ac+c^2$$=b^2+bd+d^2$

Do đó :

$(ab+cd)(ad+bc)$$=bd(a^2+c^2)+ac(b^2+d^2)$$=bd(a^2-ac+c^2)+ac(b^2+bd+d^2)$$=(ac+bd)(a^2-ac+c^2)(\ast )$

Chú ý rằng với điều kiện $a>b>c>d>0$ ta có :

$$\{\begin{array}{ccc}(ab+cd)-(ac+bd)=(a-d)(b-c)>0& & \\ (ac+bd)-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0& & \end{array}$$

$$\Rightarrow ab+cd>ac+bd>ad+bc$$

Gỉa sử $ab+cd$ là một số nguyên tố, vì $ab+cd>ac+bd$ nên $gcd(ab+cd,ac+bd)=1$

Mặt khác, từ $(\ast )$ ta có :

$(ac+bd)|(ab+cd)(ad+bc)$ vì $gcd(ab+cd,ac+bd)=1$ nên $(ac+bd)|(ad+bc)$.

Điều này là vô lí vì $ac+bd>ad+bc>0$

Vậy : Gỉa thiết phản chứng sai, $ab+cd$ phải là hợp số