Bài toán : Cho ngũ giác $ABCDE$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,BCD,CDE,DEA,EAB$. Gọi $H_{1},H_{2},H_{3},H_{4},H_{5}$ lần lượt là hình chiếu của $G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ lên các cạnh $DE,AE,AB,BC,CD$. Chứng minh rằng năm đường thẳng $G_{1}H_{1},G_{2}H_{2},G_{3}H_{3},G_{4}H_{4},G_{5}H_{5}$ đồng quy. Lời giải : Gọi $N_{1}$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $DE$ thì $N_{1}$ là trung điểm của $DE$. Theo quy tắc trung điểm và quy tắc trọng tâm, ta có : \[\overrightarrow{OG_{1}}=\dfrac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right )\] \[\overrightarrow{ON_{1}}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} \right )\] Trên đường thẳng $G_{1}H_{1}$ chọn điểm $M_{1}$ sao cho : \[\overrightarrow{OM_{1}}=\overrightarrow{OG_{1}}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{ON_{1}}\] Thì do $O,G_{1},N_{1}$ là những điểm cố định nên $M_{1}$ tồn tại duy nhất. Suy ra $\overrightarrow{OM_{1}}=\dfrac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right )+\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} \right )=\dfrac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} \right )$ Tương tự thì cũng tồn tại duy nhất một điểm $M_{i}\in G_{i}H_{i}$ với $i\in \left \{ 2;3;4;5 \right \}$ sao cho \[\overrightarrow{OM_{i}}=\overrightarrow{OG_{i}}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{ON_{i}}\] Như trên, ta được $\overrightarrow{OM_{i}}=\dfrac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} \right )$ Như vậy ta có $\overrightarrow{OM_{1}}=\overrightarrow{OM_{2}}=\overrightarrow{OM_{3}}=\overrightarrow{OM_{4}}=\overrightarrow{OM_{5}}\Leftrightarrow M_{1}\equiv M_{2}\equiv M_{3}\equiv M_{4}\equiv M_{5}$ Vậy : Năm đường thẳng $G_{1}H_{1},G_{2}H_{2},G_{3}H_{3},G_{4}H_{4},G_{5}H_{5}$ đồng quy.

Bài toán [Hình học vectơ, các đường đồng quy]

Bài toán : Cho ngũ giác $A B C D E$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}, G_{5}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $A B C, B C D, C D E, D E A, E A B$ . Gọi $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}, H_{5}$ lần lượt là hình chiếu của $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}, G_{5}$ lên các cạnh $D E, A E, A B, B C, C D$ . Chứng minh rằng năm đường thẳng $G_{1} H_{1}, G_{2} H_{2}, G_{3} H_{3}, G_{4} H_{4}, G_{5} H_{5}$ đồng quy.

Lời giải :

Gọi $N_{1}$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $D E$ thì $N_{1}$ là trung điểm của $D E$ .

Theo quy tắc trung điểm và quy tắc trọng tâm, ta có :

$O G_{1} = \frac{1}{3} (O A + O B + O C)$

$O N_{1} = \frac{1}{2} (O D + O E)$

Trên đường thẳng $G_{1} H_{1}$ chọn điểm $M_{1}$ sao cho :

$O M_{1} = O G_{1} + \frac{2}{3} O N_{1}$

Thì do $O, G_{1}, N_{1}$ là những điểm cố định nên $M_{1}$ tồn tại duy nhất.

Suy ra $O M_{1} = \frac{1}{3} (O A + O B + O C) + \frac{2}{3} . \frac{1}{2} (O D + O E) = \frac{1}{3} (O A + O B + O C + O D + O E)$

Tương tự thì cũng tồn tại duy nhất một điểm $M_{i} \in G_{i} H_{i}$ với $i \in {2; 3; 4; 5}$ sao cho

$O M_{i} = O G_{i} + \frac{2}{3} O N_{i}$

Như trên, ta được $O M_{i} = \frac{1}{3} (O A + O B + O C + O D + O E)$

Như vậy ta có $O M_{1} = O M_{2} = O M_{3} = O M_{4} = O M_{5} \Leftrightarrow M_{1} \equiv M_{2} \equiv M_{3} \equiv M_{4} \equiv M_{5}$

Vậy : Năm đường thẳng $G_{1} H_{1}, G_{2} H_{2}, G_{3} H_{3}, G_{4} H_{4}, G_{5} H_{5}$ đồng quy.

Bài toán [Hình học vectơ, các đường đồng quy]

Đề bài

Mô tả