Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Chứng minh rằng sau có vô hạn nghiệm nguyên  :

$$19x^2+5y^9+1890z^{1945}=t^{2003}$$

Lời giải :

Đưa phương trình về dạng :

$\underset{19}{\underbrace{x^2+...+x^2}}+\underset{5}{\underbrace{y^9+...+y^9}}+\underset{1890}{\underbrace{z^{1945}+...+z^{1945}}}$$=t^{2003}(\ast )$

Ta có nhận xét sau : $\underset{1914}{\underbrace{1914^a+...+1914^a}}=1914^{a+1}$

Áp dụng nhận xét trên, ta chọn :

$$x=1914^{m/2};y=1914^{m/9};z=1914^{m/1945};t=1914^{(m+1)/2003}(\ast \ast )$$

Khi đó ta lập tức được $(\ast )$

Như vậy ta chỉ cần tìm $m$ thỏa mãn $x,y,z,t$ nguyên.

Từ $(\ast \ast )$ và với nhận xét $gcd(2,9,1945)=1$ ta suy ra $35010|m\Rightarrow m=35010t(t\in {\mathbb{Z}}^{+})$

Lại có :

$2003|(m+1)$$\iff 2003|(35010t+1)$$\iff 959t+1$$\equiv 0(mod2003)$$\iff 959t$$\equiv 2002+7.2003$$=16023(mod2003)$$\iff 137t$$\equiv 286(mod2003)$$\iff t$$\equiv 1084(mod2003)$$\Rightarrow t$$=2003k+1084(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$

Từ đó ta có $m=35010t=35010(2003k+1084)=70125030k+37950840$

Suy ra được :

$$x=1914^{35062515k+18975420}$$

$$y=1914^{7791670k+4216760}$$

$$z=1914^{36054k+19512}$$

$$t=1914^{35010k+18947}$$

Kết luận  : Phương trình đã cho có vô hạn nghiệm nguyên và một trong những nghiệm tổng quát của nó là :

$x$$=1914^{35062515k+18975420};y$$=1914^{7791670k+4216760};z$$=1914^{36054k+19512};t$$=1914^{35010k+18947}$

Với $k$ là số nguyên dương.