Bài toán [Chứng minh trung điểm]

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ và $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $A$. Đường tròn này tiếp xúc với $AB,AC,BC$ lần lượt tại $K,L,M$. $LM$ cắt $BJ$ tại $F$ ,$KM$ cắt $CJ$ tại $G$ . Gọi $S,T$ lần lượt là giao điểm của $AF$, $AG$ với $BC$. Chứng minh rằng: $M$ là trung điểm của $ST$.

Lời giải :

$\bullet$ Trước tiên, ta sẽ chứng minh $JG\perp AT$ bằng cách chứng minh $AGJL$ là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra $G$ là trung điểm của $AT$.

Thật vậy,

Ta có

$\widehat{JGL}$$=180^0-\widehat{GBM}-\widehat{GMB}$$=180^0-(\hat{B}+\widehat{GBA})-\widehat{CML}$$=180^0-(\hat{B}+\widehat{KBJ})-\frac{180^0-\widehat{MCL}}{2}$$=180^0-(\hat{B}+\frac{1}{2}\widehat{KBM})-(90^0-\frac{\widehat{MCL}}{2})$$=90^0-\left[\hat{B}+\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{C})\right]+\frac{\widehat{MCL}}{2}$$=90^0-\hat{B}-\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{C})+\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{B})$$=90^0-\frac{\hat{B}}{2}-\frac{\hat{C}}{2}$$=\frac{\hat{A}}{2}$$=\widehat{JAL}$

(Chú ý rằng $\widehat{MCL}=\hat{A}+\hat{B};\widehat{KBM}=\hat{A}+\hat{C}$ là do tính chất góc ngoài tam giác)

Do đó tứ giác $AGJL$ nội tiếp mà $\widehat{JLA}=90^0\Rightarrow \widehat{JGA}=90^0\Rightarrow JG\perp AL$

Trong tam giác $TBA$, $BG$ vừa là đường cao, vừa là phân giác nên $BG$ cũng là trung tuyến hay $GA=GT$.

$\bullet$ Bây giờ ta sẽ chứng minh $MT=AL$ và $MS=AK$.

Thật vậy,

Xét tam giác $ATC$ với ba điểm $G,M,L$ thẳng hàng lần lượt thuộc các đường thẳng $AT,TC,AC$.

Theo định lí $Menelaus$ ta có : $\frac{GA}{GT}.\frac{MT}{MC}.\frac{LC}{LA}=1$ mà $GA=GT$ nên :

$$\frac{MT}{MC}.\frac{LC}{LA}=1\Rightarrow MT.LC=MC.LA$$

Mà lại dễ thấy rằng $MC=LC$ nên $MT=LA$

Chứng minh tương tự ta được $MS=AK$

Lại có $AL=AK$, suy ra $MT=MS$

Vậy : $M$ là trung điểm của $ST$.