Bài toán [Hệ phương trình vô tỉ]

Bài toán (Đình Huy) : Giải hệ phương trình sau :

$$\{\begin{array}{c}\sqrt[6]{xyz}-\sqrt[4]{t}=2(1)\\ \sqrt[6]{yzt}-\sqrt[4]{x}=2(2)\\ \sqrt[6]{ztx}-\sqrt[4]{y}=2(3)\\ \sqrt[6]{txy}-\sqrt[4]{z}=2(4)\end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện $x,y,z,t\ge 0$

Nhận xét rằng $\left(0;y;z;t\right);(x;0;z;t);(x;y;0;t);(x;y;z;0)$ không là nghiệm của hệ phương trình

Ta xét $x,y,z,t>0$

Đặt $A=xyzt>0$

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $x\ge y$

Khi đó $\left(2\right)\iff \sqrt[6]{\frac{A}{x}}-\sqrt[4]{x}=2\iff \sqrt[6]{\frac{A}{x}}=2+\sqrt[4]{x}$

$\left(3\right)$$\iff \sqrt[6]{\frac{A}{y}}-\sqrt[4]{y}$$=2$$\iff \sqrt[6]{\frac{A}{y}}$$=2+\sqrt[4]{y}$

Vì $x\ge y>0$ nên $2+\sqrt[4]{x}\ge 2+\sqrt[4]{y}\Rightarrow \sqrt[6]{\frac{A}{x}}\ge \sqrt[6]{\frac{A}{y}}\Rightarrow \frac{A}{x}\ge \frac{A}{y}\Rightarrow x\le y$

Suy ra $x=y$.

Tương tự và cuối cùng ta thu được $x=y=z=t$

Thay vào $(1)$ : $\sqrt[6]{x^3}-\sqrt[4]{x}=2\iff \sqrt{x}-\sqrt[4]{x}=2\iff \sqrt[4]{x}=2\iff x=64$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $x=y=z=t=64$