1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
(Taiwan TST 2005) [Bài toán]: Cho thỏa mãn . CMR: Lời Giải Đặt . Phản chứng giả sử Trường hợp không có ước […]
(Gabriel Dospinescu) [Bài toán]: CMR có ít nhất ước nguyên tố dạng Lời giải Nhận xét (Tương tự bài Vietnam TST 2004): không có ước nguyên tố dạng […]
Bài toán : Cho các số nguyên dương thỏa mãn hệ thức . Chứng minh rằng là lũy thừa bậc năm của một số nguyên. Lời giải : Gọi là cặp số thỏa mãn đề bài và có tổng nhỏ nhất. Ta giả sử . Xét phương trình bậc hai ẩn : Vì thỏa mãn đề […]
Bài toán (Junior Balkan MO 2012) : Giải phương trình nghiệm nguyên dương Lời giải : Trường hợp 1 : Xét : Ta có Vì Nên chẵn. Đặt ( Được : Dễ thấy đều là số chẵn Nên Điều này vô lí Trường hợp 2 : Xét : Ta có chẵn chẵn. Đặt () Ta […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh : Lời giải : (Phương pháp S-S) Viết BĐT đã cho thành : Sử dụng các đẳng thức : BĐT cần chứng minh trở thành : Bây giờ ta sẽ chứng minh Thật vậy, Để chứng minh , ta đi chứng minh Mặt khác thì ta có […]
Bài toán (Đình Huy) : Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ sao cho là một số chính phương Lời giải : Ta sử dụng hai bổ đề quen thuộc : Bổ đề 1: Cho các số nguyên dương và số nguyên tố có dạng thỏa mãn . Khi đó và Bổ đề 2 : […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Lời giải : Ta sẽ sử dụng kĩ thuật ngược dấu để giải quyết bài toán. Ta có : Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo từng vế, ta được : […]
Bài toán : Cho ba số tự nhiên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện : là số nguyên tố và . Chứng minh rằng : là một số chính phương. Lời giải : Gỉa thiết đã cho tương đương : Đặt thì : hoặc (chú ý nguyên tố ) Trường hợp 1 : Nếu […]
Bài toán : Tìm tất cả các số tự nhiên để chia hết cho Lời giải : Đặt Trường hợp 1 : Nếu Khi đó và Trường hợp 2 : Nếu Ta có Trường hợp 3 : Nếu Ta có Đặt Vì nên Lần lượt thử từ đến thì đều không tìm được thỏa mãn Trường […]
Bài toán : Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là trung điểm của . Gọi là hình chiếu vuông góc của các điểm lên các cạnh đối của nó. Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng : a) b) đồng quy Lời giải : a) Gọi theo […]
Bài toán : Cho là ba số nguyên khác và sao cho . Chứng minh rằng không phải là một số nguyên tố. Lời giải : Từ giả thiết Vì nên phải có Trường hợp 1 : Nếu Đặt Do đó Dễ thấy và không thể là một số nguyên tố. Do đó trường hợp này ta có […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức : Lời giải : Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz : Do đó ta chỉ cần chứng minh : Theo : Nên ta đi chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn : Thật vậy, Cộng vế hai BĐT trên thì ta có . […]
Bài toán (THTT số 422) : Giải phương trình nghiệm nguyên Lời giải : Trường hợp 1 : Nếu hoặc thì một vế nguyên, một vế không nguyên (loại) Trường hợp 2 : Nếu : Điều này tương đương với : Mâu thuẫn. Trường hợp 3 : Nếu : Ta viết phương trình thành : Ta có […]
Bài toán (Đình Huy) : Giải phương trình nghiệm nguyên Lời giải : Đặt Khi đó dễ thấy phương trình được viết lại thành : Áp dụng một tính chất quen thuộc Ta thấy mà Kết luận : Phương trình không có nghiệm nguyên.
Bài toán (JBMO Shortlist 2001) : Tìm các số nguyên dương không phải là bội số của sao cho là một lập phương của số nguyên dương. Lời giải : Đặt Do Nên xét các trường hợp : Thay : vào thì được : Ta thấy (loại) Thay : vào thì được : Thử lại không […]
Bài toán (JBMO Shortlist 2008) : Tìm các số nguyên dương sao cho : Lời giải : Phương trình tương đương : Do đó : Với Trừ vế với vế : Giải phương trình : Vì chẵn Đặt Ta được Với Từ đó tìm được , , Kết luận :
Bài toán : Giải phương trình nghiệm tự nhiên Lời giải : Ta sẽ lập luận rằng chỉ có thể chẵn từ đó vế trái là một số chính phương, khi đó ta sẽ dùng phương pháp kẹp để giải quyết bài toán. Gỉa sử lẻ, khi đó Nhận xét rằng Nếu . Mâu thuẫn Nếu . […]
Bài toán : Cho các số dương , chứng minh BĐT : Lời giải : Ta có thể viết bất đẳng thức đã cho thành : Khi đó áp dụng BĐT cho vế trái : Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi
Bài toán : Tìm bảy số nguyên tố sao cho tổng các lũy thừa bậc 6 của chúng bằng tích của chúng. Lời giải : Gọi bảy số nguyên tố cần tìm là . Theo đề bài ta có Gỉa sử tất cả các số nguyên tố đều không chia hết cho . Theo định […]
Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên dương : Lời giải : Với , ta sẽ chứng minh BĐT : Thật vậy, sử dụng bài toán quen thuộc , ta có : Do đó Khi ta được : Đẳng thức xảy ra khi Kết luận :