Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên dương : $4^{y}+4^{y}+2^{xy}-2^{x^{2}}-2^{y^{2}}=16$ Lời giải : Với $x,y,z>0$, ta sẽ chứng minh BĐT : \[2^{x^{2}}+2^{y^{2}}+2^{z^{2}}\geq 2^{xy}+2^{yz}+2^{zx}\] Thật vậy, sử dụng bài toán quen thuộc $\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$, ta có : \[\left ( 2^{x^{2}}+2^{y^{2}}+2^{z^{2}} \right )^{2}\geq 3\left ( 2^{x^{2}+y^{2}}+2^{y^{2}+z^{2}}+2^{z^{2}+x^{2}} \right )\geq 3\left [ (2^{xy})^{2}+(2^{yz})^{2}+(2^{zx})^{2} \right ]\geq 3.\dfrac{(2^{xy}+2^{yz}+2^{zx})^{2}}{3}=(2^{xy}+2^{yz}+2^{zx})^{2}\] Do đó $2^{x^{2}}+2^{y^{2}}+2^{z^{2}}\geq 2^{xy}+2^{yz}+2^{zx}$ Khi $z = 2$ ta được : $2^{x^{2}}+2^{y^{2}}+16\geq 2^{xy}+2^{2x}+2^{2y}\Leftrightarrow 4^{x}+4^{y}+2^{xy}-2^{x^{2}}-2^{y^{2}}\leq 16$ Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$ Kết luận : $\boxed{(x;y;z)=(2;2;2)}$

Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên, Bất đẳng thức]

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên dương : $4^{y} + 4^{y} + 2^{x y} - 2^{x^{2}} - 2^{y^{2}} = 16$

Lời giải :

Với $x, y, z > 0$ , ta sẽ chứng minh BĐT :

$2^{x^{2}} + 2^{y^{2}} + 2^{z^{2}} \geq 2^{x y} + 2^{y z} + 2^{z x}$

Thật vậy, sử dụng bài toán quen thuộc $(a + b + c)^{2} \geq 3 (ab + b c + c a)$ , ta có :

$(2^{x^{2}} + 2^{y^{2}} + 2^{z^{2}})^{2} \geq 3 (2^{x^{2} + y^{2}} + 2^{y^{2} + z^{2}} + 2^{z^{2} + x^{2}}) \geq 3 [(2^{x y})^{2} + (2^{y z})^{2} + (2^{z x})^{2}] \geq 3. \frac{( 2 ^{x y} + 2 ^{y z} + 2 ^{z x} ) ^{2}}{3} = (2^{x y} + 2^{y z} + 2^{z x})^{2}$

Do đó $2^{x^{2}} + 2^{y^{2}} + 2^{z^{2}} \geq 2^{x y} + 2^{y z} + 2^{z x}$

Khi $z = 2$ ta được : $2^{x^{2}} + 2^{y^{2}} + 16 \geq 2^{x y} + 2^{2 x} + 2^{2 y} \Leftrightarrow 4^{x} + 4^{y} + 2^{x y} - 2^{x^{2}} - 2^{y^{2}} \leq 16$

Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = 2$

Kết luận : $(x; y; z) = (2; 2; 2)$

Mô tả

Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên dương : Lời giải : Với , ta sẽ chứng minh BĐT : Thật vậy, sử dụng bài toán quen thuộc , ta có : Do đó Khi ta được : Đẳng thức xảy ra khi Kết luận :

Phương trình nghiệm nguyênBất đẳng thức

Nguồn: julielltv