Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán (JBMO Shortlist 2008) : Tìm các số nguyên dương $x, y, z$ sao cho : $4^{x} + 3^{y} = z^{2}$

Lời giải :

Phương trình tương đương : $(z - 2^{x}) (z + 2^{x}) = 3^{y}$

Do đó :

{z - 2^{x} = 3^{m} z + 2^{x} = 3^{n}

Với

m, n \in N, m < n, m + n = y

Trừ vế với vế :

3^{n} - 3^{m} = 2^{x + 1} \Leftrightarrow 3^{m} (3^{n - m} - 1) = 2^{x + 1} \Rightarrow {m = 0 3^{y} - 1 = 2^{x + 1} (*)

Giải phương trình

(*)

: Vì

x \geq 1 \Rightarrow 4∣ 2^{x + 1} \Rightarrow 3^{y} = 2^{x + 1} + 1 \equiv 1 (m o d 4) \Rightarrow y

chẵn Đặt

y = 2 k (k \in N^{*})

Ta được

(3^{k} - 1) (3^{k} + 1) = 2^{x + 1} \Rightarrow {3^{k} - 1 = 2^{a} 3^{k} + 1 = 2^{b}

Với

a < b; a + b = x + 1; a, b \in N

$\Rightarrow 2^{b} - 2^{a} = 2 \Rightarrow 2^{a} (2^{b - a} - 1) = 2 \Rightarrow {a = 1 b = 2$

Từ đó tìm được

x = 2

y = 2

z = 5

Kết luận :

(x; y; z) = (2; 2; 5)

Mô tả

Bài toán (JBMO Shortlist 2008) : Tìm các số nguyên dương sao cho : Lời giải : Phương trình tương đương : Do đó : Với Trừ vế với vế : Giải phương trình : Vì chẵn Đặt Ta được Với Từ đó tìm được , , Kết luận :

Phương trình nghiệm nguyênChia hết - Đồng dư

Nguồn: julielltv